Phương pháp chứng minh quy nạp là một trong những phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học. Trong bài viết nhỏ này dành cho các bạn THCS chúng tôi xin trình bày một số dạng của phương pháp này trong việc chứng minh các bài toán ở các lĩnh vực như: Đại số, số học, tổ hợp. Hy vọng các em có thể nắm bắt vận dụng phù hợp trong các tình huống cụ thể.

Để chứng minh một mệnh đề $P(n)$ là đúng với mọi số nguyên dương $n$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước cơ sở:      Chứng minh $P(1)$ đúng.
• Bước quy nạp: Giả sử $P(n)$ đúng với $n$ nào đó (giả thiết quy nạp), chứng minh $P(n+1)$ đúng.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Lời giải. 

• Khi $n=1$ rõ ràng : $1 = \dfrac{1(1+1)}{2}$.
• Giả sử đẳng thức đúng với $n$, ta chứng minh đẳng thức đúng với $n+1$.
  • Thật vậy áp dụng giả thiết quy nạp ta có: $1+2+\cdots+n+n+1 = \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1 = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$.
• Vậy đẳng thức đúng với mọi $n$.

Ví dụ 2. Chứng minh $n^3+11n$ chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên $n$.

Lời giải. 

• Khi $n = 0$ ta có $0^3+11\cdot 0 = 0$ chia hết cho 6.
• Giả sử $n^3+11n$ chia hết cho 6, ta chứng minh $(n+1)^3+11(n+1$ chia hết cho 6.
  • Thật vậy $(n+1)^3 + 11(n+1) = n^3 + 11n + 3n(n+1)+12$.
  • Theo giả thiết quy nạp thì $n^3+11n$ chia hết cho 6, và $3n(n+1), 12$ cũng chia hết cho 6 nên $(n+1)^3+11n$ chia hết cho 6.
• Vậy $n^3+11n$ chia hết cho 6 với mọi $n$.

Trong một số trường hợp ta cần chứng minh $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geq n_o$ nào đó, ta cũng làm tương tự, chỉ thay bước cơ sở thành: Chứng minh $P(n_o)$ đúng.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng $2^n > n^2$ với mọi $n \geq 5$.

Lời giải. 

• Khi $n = 5$ ta có $2^5 > 5^2 $( đúng)
• Giả sử $2^n > n^2$ với $n> 5$. Ta cần chứng minh $2^{n+1} > (n+1)^2$.
  • Thật vậy áp dụng giả thiết quy nạp ta có $2^{n+1} = 2\cdot 2^n > 2n^2$.
  • Mà $2n^2 > (n+1)^2 \Leftrightarrow  n^2-2n+1 > 0$ (đúng với $n > 5$).
  • Do đó $2^{n+1} > (n+1)^2$.
• Vậy $2^n > n^2$ với mọi $n \geq 5$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $1^2 + 2^2 + …+ n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

b) $1^3 + 2^3 + …+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.

c) $\dfrac{1}{1.2.3} + \dfrac{1}{2.3.4} + …+ \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$.

Bài 2.

a) Chứng minh rằng $n! > 3^n$ với mọi $n > 7$.

b) Chứng minh rằng với số thực $a > – 1$, thì với mọi số tự nhiên $n$ ta có $(1+a)^n \geq 1+ na$.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì:

a) $5^{2n+1}+2^{n+4} + 2^{n+1}$ chia hết cho 23.

b) Với $ n $ là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng: $$ (20^n+16^n-3^n-1)\ \vdots \ 323. $$