a) Các bạn tự làm.
b) Ta chứng minh bằng quy nạp.

• Với $k = 2$ hiển nhiên đúng.
• Giả sử với $k$ thì nền $2^k \times 2^k$ bỏ ô $(i;j)$ bất kì thì luôn phủ được. Ta chứng minh đúng với $k+1$.
  Với nền nhà $2^{k+1} \times 2^{k+1}$ ta chia thành 4 hình vuông $2^k \times 2^k$. Khi đó ô bỏ đi thuộc một trong 4 hình vuông đó, ta phủ được hình vuông này theo giả thiết quy nạp. Tiếp tục,theo giả thiết quy nạp, với 3 hình vuông còn lại, bỏ đi ô ở góc (hình vẽ) thì ta có thể phủ được. Khi đó 3 ô ở góc ta phủ tiếp bằng một viên gạch.
• Với cách thực hiện đó thì ta có thể phủ được nền nhà $2^{k+1} \times 2^{k+1}$ khi bỏ ô bất kì.

• Rõ ràng bài toán đúng khi $n=2$.
• Giả sử bài toán đúng với $n$, ta chứng minh bài toán đúng với $n+1$. Xét hai người $A, B$ bắt tay.
  Nếu số bắt tay của $A$ và $B$ với $2n$ người còn lại không vượt quá $2n$ thì $n$ người kia có $n^2+1$ cái bắt tay, ta có điều cần chứng minh.
  Nếu số người bắt tay với $A, B$ là hơn $2n$ cái.
• Do đó trong $2n$ người kia thì sẽ có ít nhất một người bắt tay với cả $A$ và $B$, ta có điều cần chứng minh.

a) Ta có $4 \leq S \leq 10$ và $S$ chẵn, suy ra $S = 4, 6, 8, 10$. Xét các trường hợp sau:

• $S = 4$, suy ra $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1$. Suy ra $- 1 – 1+ 1 + 1 = 0$.
• $S = 6$ ta có $6 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 2 + 2$, suy ra có một cách thỏa đề bài.
• $S = 8$ ta có $8 = 1 + 1 + 2 + 4 = 1 + 1 + 3 + 3 = 1 + 2 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2$. Suy ra mỗi cách đều tồn tại một cách chọn dấu $ + , – $ thỏa đề bài.
• $S = 10 = 1 + 2 + 3 + 4$. Suy ra có một cách thỏa đề bài.

a) Ta chứng minh bằng quy nạp mệnh đề sau: Cho $n$ các số nguyên dương thỏa $1 \leq a_k \leq k$ thỏa $S_n = a_1 + …+a_n$ chẵn. Khi đó tồn tại số có dạng $\pm a_1 \pm a_2 … \pm a_{n}$ bằng 0.

• Khi $n = 2$ ta có $a_1 + a_2$ chẵn, suy ra $a_1 = a_2 = 1$. Suy ra $a_1 – a_2 = 0$.
• Giả sử bài toán đúng với $k\leq n$. Ta chứng minh bài toán đúng với $n + 1$. Ta có $S_{n+1} = a_1 + …+a_{n} + a_{n+1}$ chẵn. Ta có $0\leq |a_{n} – a_{n+1}| \leq n$.
  • Nếu $a_n – a_{n+1} = 0$ ta áp dụng giả thiết quy nạp với $n-1$ số $a_1, …, a_{n-1}$ ta có điều cần chứng minh.
  • Nếu $a_n – a_{n+1} \neq 0$. Áp dụng giả thiết quy nạp với $n$ số $a_1, a_2, …, a_{n-1}, |a_n-a_{n+1}|$ ta thấy $a_1 + …+a_{n+1}$ chẵn nên $a_1 + …+a_{n-1} + |a_n – a_{n+1}|$ chẵn.
  • Suy ra tồn tại số có dạng $\pm a_1 \pm a_2 … \pm |a_{n}-a_{n+1}| = \pm a_1 \pm a_2 … \pm a_{n+1}$ bằng 0.

• Ta chứng minh bài toán đúng với tập $S$ có số phần tử $n$ bất kì bằng quy nạp.

  Rõ ràng bài toán đúng với $n=1$, $S=\{1\}$. Nếu $k=0$ tô màu xanh cả hai tập con. Nếu $k=1$ tô màu đỏ tập $S$, xanh tập rỗng. Nếu $k=2$ thì tô $S$ và rỗng đều màu đỏ.

• Giả sử $S$ có $n$ phần tử thì với mọi $k$ đều tồn tại cách tô thỏa đề bài.
  Ta chứng minh bài toán đúng với $S$ có $n+1$ phần tử.
  Giả sử $S = \{1, 2, \cdots, n, n+1\}$, $0 \leq k \leq 2^{n+1}$.
  • Nếu $k \leq 2^n$.Theo giả thiết quy nạp các tập con của $\{1, 2, \cdots, n\}$ được tô thỏa đề bài và các tập con chứa $n+1$ ta tô màu xanh. Rõ ràng cách tô này thỏa đề bài.
  • Nếu $ 2^n < k \leq 2^{n+1}$. Thì ta chỉ cần đổi màu các tập tô như trường hợp trên, tập nào tô màu xanh thì đổi thì màu đỏ và ngược lại. Rõ ràng thỏa đề bài.