Tiếp theo chuyên mục số học dành cho các em lớp 8, 9 thi học sinh giỏi và thi vào 10, hôm nay là bài giảng về phương trình nghiệm nguyên.

Phương trình nghiệm nguyên là một trong những phần hay và khó nhất của số học, nhiều phương trình có vẻ rất đơn giản nhưng lại rất khó để giải, đó là một trong những điều thú vị cuốn hút nhiều học sinh đam mê toán học. Trong bài này chúng tôi xin nêu ra một vài phương pháp giúp các em bước đầu tiếp cận với việc giải phương trình nghiệm nguyên.

Phương pháp biến đổi thành tổng. Phương pháp này dựa trên tính chất: Mỗi số nguyên dương đều được biểu diễn thành tổng của hai hay nhiều số nguyên dương khác trong hữu hạn các trường hợp. Vì thế ta có thể xét những trường hợp này để cho ra cách giải, ngoài ra ta có thể đánh giá để đưa về ít trường hợp để xét hơn, giúp lời giải ngắn gọn hơn.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau trong tập số nguyên

a) $x^2 + 3y^2 = 13$.

b) $2^x + y^4 = 85$.

c) $x^2 + y^2 + x + y – xy = 0$.

Ví dụ 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2 – 6xy + 14y^2-10y – 16 = 0$

Ví dụ 3. Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^2- 2xy + 5y^2 = 41$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập số nguyên:
a)  $19x^2+28y^2=2001$.
b) $3x^2 + y^2 – 4y = 24$.
c) $2^x + 5y^2 = 38$.
d) $x^2 – 6xy+13y^2 = 100$.
Bài 2. Giải các phương trình trong tập số nguyên:
a) $2x^2 + 6y^2 + 7xy – x- y = 25$.
b) $x^2 -xy+y^2 = x+y$

(còn nữa)