1. Phương pháp biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên $2xy + 3x + 4y = 9$
Giải
Ta biến đổi thành $(x+2)(2y+3) = 15$.
Do đó $x+2 \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}$.
Giải ra được các nghiệm $(x;y)$ là: $(-17;-2), (-7;-3), (-5;-4), (-3;-9), (-1;6), (1;1), (3;0), (13;-1)$.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $(xy-7)^2 = x^2 + y^2$
Giải
Biến đổi phương trình thành
$(xy-6)^2-(x+y)^2==-13$
$\Leftrightarrow (xy-x-y-6)(xy+x+y-6) = -13$.
- TH1: $xy – x-y-6 = -13, xy+x+y-6 = 1$.
- TH2: $xy-x-y-6 = -1, xy+x+y-6 = 13$.
Giải ra nghiệm $(x;y)$ là $(3;4), (4;3), (7;0), (0;7)$.
Ví dụ 3: Giải nghiệm nguyên dương của phương trình $x(y^2-p) + y(x^2-p) = 5p$ trong đó $p$ là số nguyên tố.
Giải
Biến đổi pt thành $(x+y)(xy-p) = 5p$.
- TH1: $x+y = 5, xy – p = p$, giải ra được $(x;y,p)$ là $(1;4;2),(4;1;2), (2;3;3), (3;2;3)$.
- TH2: $x+y = p, xy -p=5$, ta có $xy – x-y = 5 \Leftrightarrow (x-1)(y-1) = 6$.
Giải ra được $(x;y;p)$ là $(3;4;7), (4;3;7)$.
- TH3: $x+y=5p, xy-p = 1$, ta có $5xy -x-y = 5 \Leftrightarrow (5x-1)(5y-1) = 26$.
Không tìm được $x$, $y$ thỏa yêu cầu.
Vậy phương trình có 6 nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình trong tập các số nguyên dương $x + x^2 + x^3 = y+y^2$
Giải
Ta có phương trình viết lại $x^3 = (y-x)(y+x+1)$.
Khi đó nếu $p$ là ước nguyên tố của $y-x, y+x+1$ thì $p = 1$(vô lí).
Do đó $(y-x, y+x+1) = 1$
Khi đó $y-x = a^3, y+x+1 = b^3$ và $ab=x$.
$\Rightarrow b^3-a^3 = 2ab+1$, vì $b \geq a+1$
$\Rightarrow b^3-a^3 = (b-a)(a^2+b^2+1) > 2ab+1$ phương trình vô nghiệm.
2. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:
a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.
b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $
c) $ x^3-y^3=91 $.
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2020}$
Bài 3: Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:
a) $3^x-y^3=1$;
b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;
c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.
Bài 4: Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$
Bài 5: Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.
Like this:
Like Loading...