Sử dụng bảng lượng giác cho các góc có số đi đặc biệt trên, ta có thể tích chính xác độ dài các cạnh.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2cm, \angle ABC = 30^\circ$. Tính $AC, BC$.
Gợi ý
Ta có
- $\cos \angle B = \dfrac{AB}{BC}$
- $\cos 30^\circ = \dfrac{2}{BC}$
- $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{BC}$
- $BC = \dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
- Suy ra $AC = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1, AC = \sqrt{3}, BC = 2$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.
Gợi ý
- Ta có $AB^2 +AC^2 = 1 +3 = 4 = BC^2$, suy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vậy $\angle BAC = 90^\circ$.
- Ta có $\sin \angle ABC = \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle ABC = 60^\circ$.
- Và $\angle ACB = 180^\circ – \angle BAC – \angle ABC = 30^\circ$.
Bài tập
- Tính chính xác các yếu tố chưa biết.
2. Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = 60^\circ, \angle ACB = 45^\circ$, đường cao $AH = \sqrt{3}$.
a. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.
b. Dựng đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin \angle BAC$.
Gợi ý
a. $AB .\sin \angle ABC = AH \Leftrightarrow AB \sin 60^\circ = \sqrt{3} \Leftrightarrow AB \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, suy ra $AB = 2$.
Tam giác $AHC$ vuông cân, suy ra $AC = \sqrt{2}AH = \sqrt{6}$.
$BH = \sqrt{AB^2-AH^2} = 1, CH = AH = \sqrt{3}$.
Suy ra $BC = 1 + \sqrt{3}$.
b. Ta có $BK = BC. \sin \angle BCK = (1+\sqrt{3})\sin 45^\circ = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
Suy ra $\sin \angle BAC = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.