DuongKinh Archives - Toán Việt

Định lý. Trong một đường tròn

Đường kính vuông góc với dây cung không đi qua tâm thì đi qua trung điểm dây cung đó.
Ngược lại, nếu đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

Ví dụ 1. Tìm $x$ độ dài dây cung trong các hình sau:

Gợi ý

a. Ta có $D C^{2} + A D^{2} = A C^{2}$ , suy ra $C D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ , $C D = 4$ .

Khi đó $B C = 2 C D = 8$ .

b. Ta có $\cot E F H = \frac{F H}{E H}$ , suy ra $F H = E H . \cot ∠ E F H = 1. \cot {22.77}^{\circ} = 2.32$ .

Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính $A B = 10 c m$ tâm $O$ . Trên đoạn $O A$ lấy điểm $D$ sao cho $O D = 3 c m$ . Đường thẳng qua $D$ vuông góc $A B$ cắt $(O)$ tại $E, F$ . Tính $∠ E B F$ .

Gợi ý

Ta có $O E = O B = 5 c m$ .

$D E^{2} + O D^{2} = O E^{2}$ , suy ra $D E^{2} = O E^{2} - O D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ , $D E = 4$ .

$\tan ∠ E B D = \frac{D E}{B D} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$∠ E B D = {26.57}^{\circ}$

Ta có $O D ⊥ E F$ , suy ra $D$ là trung điểm $E F$ . Do đó tam giác $E B F$ cân tại $B$ .

Suy ra $∠ E B F = 2 ∠ E B D = {52.14}^{\circ}$

Bài tập.

1.Tính các yếu tố chưa biết trong các hình sau:

2. Tính $x$ trong hình sau:

3. Trong hình dưới đây cho $D F = 1 c m, A E = 2 \sqrt{3} c m$ . Tính bán kính $x$ của đường tròn.

4. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $I$ nằm trong đường tròn. $A B$ là dây cung thay đổi qua $I$ .

a.Chứng minh rằng trung điểm $A B$ thuộc một đường cố định.

b.Chứng minh $I A . I B$ không đổi.

5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $I$ là một điểm nằm trong đường tròn. Hai dây cung $A B$ và $C D$ thay đổi vuông góc với nhau tại $I$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ .

a. Chứng minh $M N$ có độ dài không đổi.

b. Chứng minh $A B^{2} + C D^{2}$ không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích tứ giác $A C B D$ .

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Tag Archives: DuongKinh

Đường kính và dây cung