Định lý. Trong một đường tròn
- Đường kính vuông góc với dây cung không đi qua tâm thì đi qua trung điểm dây cung đó.
- Ngược lại, nếu đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.
Ví dụ 1. Tìm $x$ độ dài dây cung trong các hình sau:
a. Ta có $DC^2 + AD^2 = AC^2$, suy ra $CD^2 = 5^2-3^2 = 16$, $CD = 4$.
Khi đó $BC = 2CD = 8$.
b. Ta có $\cot EFH = \dfrac{FH}{EH}$, suy ra $FH = EH. \cot \angle EFH = 1. \cot 22.77^\circ = 2.32$.
Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính $AB = 10cm$ tâm $O$. Trên đoạn $OA$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = 3cm$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Tính $\angle EBF$.
Ta có $OE = OB = 5cm$.
$DE^2 + OD^2 = OE^2$, suy ra $DE^2 = OE^2 – OD^2 = 5^2 – 3^2 = 16$, $DE = 4$.
$\tan \angle EBD = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$
$\angle EBD = 26.57^\circ$
Ta có $OD \bot EF$, suy ra $D$ là trung điểm $EF$. Do đó tam giác $EBF$ cân tại $B$.
Suy ra $\angle EBF = 2 \angle EBD = 52.14^\circ$
Bài tập.
1.Tính các yếu tố chưa biết trong các hình sau:
2. Tính $x$ trong hình sau:
3. Trong hình dưới đây cho $DF = 1cm, AE = 2\sqrt{3} cm$. Tính bán kính $x$ của đường tròn.
4. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $I$ nằm trong đường tròn. $AB$ là dây cung thay đổi qua $I$.
a.Chứng minh rằng trung điểm $AB$ thuộc một đường cố định.
b.Chứng minh $IA.IB$ không đổi.
5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $I$ là một điểm nằm trong đường tròn. Hai dây cung $AB$ và $CD$ thay đổi vuông góc với nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
a. Chứng minh $MN$ có độ dài không đổi.
b. Chứng minh $AB^2 + CD^2$ không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích tứ giác $ACBD$.