Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song.

Trong hình 2, hình thang $ABCD$ có cạnh đối $AB\parallel CD$.

• $AB, CD$ là cạnh đáy.
• $AD, BC$ cạnh bên.

Định nghĩa 2.

1) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

2) Hình thang cân. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Định lý 1. Trong một hình thang cân thì 2 đường chéo bằng nhau và 2 cạnh bên bằng nhau.

Chứng minh.

Định lý 2. Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

• Hình thang có hai góc kề đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình thang trong các trường hợp sau:

a) $\angle A +\angle D= \angle B+ \angle C$.
b) $\angle A = 2\angle D = 3\angle B$ và $C = 140^\circ$.

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AD$ và đường chéo $DB$ cũng đồng thời là phân giác góc $D$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang.

Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ AH $ là đường cao. Tia phân giác của góc $ B $ cắt $ AC $ tại $ M $. Từ $ M $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ AH $ cắt $ AB $ tại $ N $.

a)Chứng minh rằng tứ giác $ BCMN $ là hình thang.
b) Chứng minh rằng $ BN = MN. $

Bài 4. Cho hình thang $ ABCD $ ($ AB $ và $ CD $ là hai đáy và $ AB < CD $), $ AD = BC = AB $, $ \widehat{BDC}= 30^\circ. $ Tính các góc của hình thang.

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ $ (AB < AC) $. Trên tia $ AC $ lấy điểm $ N $ sao cho $ AN = AB $, trên tia $ AB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ AM = AC $. Chứng minh rằng tứ giác $ BMCN $ là hình thang.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại đỉnh $A$. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD$ vuông cân tại $D$ và $AEC$ vuông cân tại $E$.

a) Chứng minh $BDEC$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $ED\sqrt{2} = BD + CE$.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Một điểm $M$ thuộc cạnh huyền $BC$ sao cho $CM = CA$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CA$ cắt $AB$ tại điểm $I$.

a) Chứng minh tứ giác $ACMI$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $MI = MH$ và $AI = AH$.
c) Chứng minh bất đẳng thức $AB + AC < AH + BC$.

Bài 8. Cho tam giác $ABC $ vuông cân tại $A $. Trên các cạnh $AB $, $AC $ lấy các điểm $M $, $N $ sao cho $AM = AN $

a)Tứ giác $BMNC $ là hình gì? Vì sao?
b) Gọi $I $ là giao điểm của $BN $ và $CM $. Chứng minh $ IA \bot MN. $

Bài 9. Cho hình thang cân $ABCD $ có $AB // CD$, $CD = 3AB$. Gọi $H$, $K $là hình chiếu của $A $, $B $ trên $CD $.

a) Chứng minh $DH = CK $.
b) Tứ giác $ABCK $ là hình gì? Vì sao?
c) Gọi $I $ là giao điểm của $BD $ và $AH $, $O $ là giao điểm của $AC $ và $ BK $. Chứng minh rằng đường thẳng $IO $ đi qua trung điểm $AD $, $BC $.