Tính chất 1: Với mọi $A$ ta có hằng đẳng thức:

$\sqrt {A^2}=\left| A \right| $

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt {(-7)^2}$.

b) $\sqrt {\left ( \sqrt 5 -2 \right )^2}$.

c)$\sqrt {\left ( 3-2\sqrt 3 \right )^2}$.

Ví dụ 2: Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {4-2\sqrt 3}$, $\sqrt {4+2\sqrt 3}$.

b) $\sqrt {7+2\sqrt 6}$, $\sqrt {13-2\sqrt {12}}$.

Tính chất 2: Cho $A$, $B$ là các số không âm. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

• $\sqrt {AB}=\sqrt A \sqrt B$.
• $\sqrt {\dfrac{A}{B} }=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$ $(B>0)$.
• $\sqrt {A^2B}=\left | A \right | \sqrt B$.

Ví dụ 3:  Tính:

a) $\sqrt {25.169}$.

b) $\sqrt {\dfrac {49}{81} }$.

c) $\sqrt {\dfrac {0,16.0,49}{1,21} }$.

Bài tập:

Bài 1:  Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8-4\sqrt {18} $.

b) $\sqrt {125} -2\sqrt {20} -3\sqrt {80}$.

c) $\sqrt {48} -4\sqrt {27} -2\sqrt {75} +\sqrt {108}$.

Bài 2:  Thực hiện các phép tính:

a) $A=\left ( \sqrt 2-1\right )^2+\left ( \sqrt 2+3 \right )^2$.

b) $B=\left (\sqrt 3+2\sqrt 2 \right )^2-\left ( \sqrt 3-\sqrt 2 \right )^2$.

c) $C=\left ( \sqrt 2 +1 \right )^3-\left ( \sqrt 2 -2 \right )^3$.

d) $D=\left ( \sqrt 2 -\sqrt 3 \right )\left ( \sqrt 6+1 \right )-\sqrt 2 \left ( \sqrt 6+3\sqrt 2 \right )$.

Bài 3:  Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {12+2\sqrt {35}}$, $\sqrt {18-2\sqrt  {65}}$.

b) $\sqrt {16+6\sqrt 7}$, $\sqrt {14-6\sqrt 5}$.

c) $\sqrt {27+10\sqrt 2}$, $\sqrt {9+4\sqrt 5}$.

d) $\sqrt {21-2\sqrt {108}}$, $\sqrt {17-2\sqrt {72}}$.

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {x+2\sqrt {x-1}}-\sqrt {x-2\sqrt {x-1}}$  với $x \ge 2$.

b) $\sqrt {2m+2\sqrt {2m-1}}-\sqrt {2m-2\sqrt {2m-1}}$.

c) $\sqrt {x+3+4\sqrt {x-1}}+\sqrt {x+8-6\sqrt {x-1}}$.