Dạo này các bài toán thực tế xuất hiện nhiều trong trong đề thi và được nhiều học sinh quan tâm, tuy vậy đây không phải là các bài toán trong đời sống bắt các em phải giải mà chỉ là những bài toán đốnhiều chữ, các em đọc hiểu và sử dụng kiến thức toán để giải, chứ chẳng có mấy về ý nghĩa thực tế, mà dạng toán này đã xuất hiện rất nhiều trong chương trình toán của mình, và trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào trường Phổ thông Năng khiếu.

Những bài toán này thường là những bài toán như mối liên quan giữa số lượng, thời gian, năng suất, …để giải các bài toán dạng này ta chú ý:

• Đọc kĩ đề bài, gạch dưới những cụm từ quan trọng.
• Tìm các mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài toán.
• Đặt ẩn phù hợp và thiết lập được phương trình, hệ phương trình.
• Giải các pt, hpt này cho ra kết quả.

 

Ví dụ 1. Lớp 9T có 30 bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng 70000 đồng và sau 3 tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở “Mái ấm tình thương X” ba gói quà (giá tiền các món quà đều như nhau). Khi các bạn đóng đủ số tiền như dự trù thì “Mái ấm tình thương X” đã nhận chăm sóc thêm 9 em và có giá tiền của mỗi món thêm $5\%$ nên chỉ tặng mỗi em hai gói quà. Hỏi có bao nhiêu em của “Mái ấm tình thương X” được nhận quà ?

Lời giải.

• Gọi $x$ $(x>0)$ là số em ban đầu ở “Mái ấm tình thương X” và $t$ $(t>0)$ là giá tiền mỗi món quà.
• Số tiền lớp 9T đóng được sau $3$ tháng là: $6300000$.
• Mỗi em nhận được $3$ món quà ta có: $3tx=6300000$ (1).
• Sau khi mái ấm có thêm $9$ em và giá mỗi món quà tăng thêm $5\%$ ta có: $2\left( t+5\% t\right) \left( x+9\right) =6300000$ (2).
• Từ (1) và (2) ta có: $3tx=2.1,05t.\left( x+9\right) $
  $\Leftrightarrow x=21$.
• Vậy có $30$ em ở “Mái ấm tình thương X nhận được quà.

Ví dụ 2. Có hai vòi nước A, B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ để cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng 6 giờ, hai vòi A, B được mở; đến 7 giờ vòi C được mở; đến 9 giờ thì đóng vòi B và vòi C; đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì đến 13 giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng lưu lượng vòi A và C, hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Lời giải. 

$10$ giờ $45$ phút $=\dfrac{43}{4}$ giờ.
Gọi $x$, $y$, $z$ $(x,\ y,\ z>0)$ lần lượt là thời gian vòi A, vòi B một mình làm đầy hồ và vòi C tháo hết nước trong hồ.
Từ $6$ giờ đến $10$ giờ $45$ phút vòi A chảy được $\dfrac{19}{4x}$ hồ.
Từ $6$ giờ đến $9$ giờ vòi B chảy được $\dfrac{3}{y}$ hồ.
Từ $7$ giờ đến $9$ giờ vòi C tháo được $\dfrac{2}{z}$ hồ.
Từ $6$ giờ đến $13$ giờ vòi A chảy được $\dfrac{7}{x}$ hồ.
Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{19}{4x}+\dfrac{3}{y}-\dfrac{2}{z}=1\ (1)\\\\
\dfrac{7}{x}-\dfrac{2}{z}=1\ (2)\\\\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{y}\ (3)
\end{array}\right. $.

Từ (2) ta có: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7z}$.

Lấy (1) trừ (2) ta có: $-\dfrac{9}{4x}+\dfrac{3}{y}=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4x}=\dfrac{3}{28}+\dfrac{3}{14z}$.

Thay $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ vào (3) ta có: $\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7z}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{14}+\dfrac{3}{7z} \Leftrightarrow z=12$.

Vậy vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong $12$ giờ.

Ví dụ 3. Một công ty may giao cho tổ $A$ may $16800$ sản phẩm, tổ $B$ may $16500$ sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau $6$ ngày, tổ $A$ được hỗ trợ thêm $10$ công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ $B$. Nếu tổ $A$ được hỗ trợ thêm $10$ công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ $B$ $1$ ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ. Biết rằng, mỗi công nhân may mỗi ngày được $20$ sản phẩm.

Lời giải.

Gọi số công nhân ban đầu của tổ $A$, $B$ lần lượt là $x$, $y$ (công nhân) ($x,y\in \mathbb{N}$).

Mỗi ngày tổ $A$ may được $20x$ sản phẩm, tổ $B$ may được $20y$ sản phẩm.

Sau $6$ ngày tổ $A$ may được $120x$ sản phẩm.

Số công nhân tổ $A$ sau khi được tăng $10$ công nhân là $x+10$ (công nhân).

Khi đó số sản phẩm tổ $A$ may được mỗi ngày là $20\left( x+10\right) $ (sản phẩm).

Thời gian tổ $A$ hoàn thành công việc là:
$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }$ (ngày).

Thời gian tổ $B$ hoàn thành công việc là: $\dfrac{16500}{20y}$ (ngày).

Tổ $A$, tổ $B$ hoàn thành công việc cùng lúc nên ta có phương trình:
$$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }=\dfrac{16500}{20y} \text { } (1).$$

Thời gian tổ $A$ hoàn thành công việc nếu được hỗ trợ thêm $10$ công nhân ngay từ đầu là: $$\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) } \text{ (ngày)}.$$

Tổ $A$ hoàn thành công việc trước tổ $B$ $1$ ngày nên ta có phương trình:
$$\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) }+1=\dfrac{16500}{20y} \text{ } (2).$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$6+\dfrac{16800-120x}{20\left( x+10\right) }=\dfrac{16800}{20\left( x+10\right) }+1$

$\Leftrightarrow \dfrac{6x}{x+10}=5$
$\Leftrightarrow x=50$.

Thay $x=50$ vào $(2)\Rightarrow y=55$.

Vậy số công nhân ban đầu của tổ $A$ là $50$ công nhân, số công nhân ban đầu của tổ $B$ là $55$ công nhân.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Một tổ mua nguyên vật liệu để thuyết trình tại lớp hết 72.000 đồng, cho phí được chia đều cho mỗi thành viên của tổ. Nếu tổ giảm bớt 2 người thì mỗi người phải đóng thêm 3000 đồng. Hỏi số người của tổ?

Bài 2. Một nhóm học sinh định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ tại một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm đi 6 viên thì các em có thêm 5 phần quà, nếu giảm đi 10 viên thì các em có thêm 10 phần quà. Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có.

Bài 3. Trong một cuộc đua môtô có ba xe khởi hành cùng lúc. Xe thứ nhì trong mỗi giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất $10$km và nhanh hơn xe thứ ba $5$km, đến đích trễ hơn xe thứ nhất $10$ phút, sớm hơn xe thứ ba $6$ phút. Tính vận tốc mỗi xe, chiều dài quãng đường đua.

Bài 4. Tìm số gồm hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số là $9$ và tổng lập phương của hai chữ số đó là $189$.

Bài 5. Một hồ nước được cung cấp nước bỏi ba vòi nước. Biết rằng nếu từng vòi nước cung cấp nước cho hồ thì vòi nước thứ nhất sẽ làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ hai $5$ giờ, vòi nước thứ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ nhất $4$ giờ; còn nếu vòi nước thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng làm đầy hồ bằng với thời gian vòi nước thứ ba làm đầy hồ. Hỏi nếu cả ba vòi nước cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng sẽ làm đầy hồ trong bao lâu?