Định nghĩa. Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Định nghĩa. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Định lý. (Tổng 4 góc trong của một tứ giác lồi)

Tổng các góc của một tứ giác bằng $ 360^\circ $

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle A =\angle C = 90^\circ$ và $\angle B= 2 \angle D$.

a. Tính số đo các góc $B$ và $D$.

b. Chứng minh $AB^2+AD^2 = BC^2+CD^2$.

Ví dụ 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $\dfrac{\angle A}{1} = \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{\angle C}{3} = \dfrac{\angle D}{4}$. Tìm số đo góc $C$.

Bài tập. 

1. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AD, CB = CD$. Chứng minh $ AC \bot CD $.
2. Cho tứ giác $ABCD$ có $ \angle {A} : \angle {B} : \angle {C} = \angle {D} = 3: 4 : 2 : 3 $.
3. Cho tứ giác $ABCD$, $ \triangle ABD $ là tam giác cân đỉnh $A$ và số đo góc $A$ gấp đôi số đo góc $ \angle ABD $; $ \triangle BCD $ có các góc $ \angle  B, \angle  C, \angle D $ có số đo tỉ lệ với 4; 3; 2.
   a.Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$.
   b.Tứ giác $ABCD$ có đặc biệt gì?
4. Cho tam giác $ABC$ có $\angle {A} = 70^\circ $. Các tia phân giác $BD, CE$ của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$; các tia phân giác ngoài của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $J$.
   a.Tính số đo các góc ngoài của tứ giác $BICJ$.
   b. Chứng minh $A, I, J$ là ba điểm thẳng hàng.
   c.Tứ giác $ABIC$ có phải là tứ giác lồi không? Vì sao?
5. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).
6. Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC, CD = DA$.
   a.Chứng minh rằng $BD$ là đường trung trực của $AC$.
   b.Cho biết $\hat{B} = 100^\circ, \angle {D} = 70^\circ$, tính $\angle A$ và $\angle C$.
7. Tính các góc của tứ giác $ABCD$, biết rằng :
   $A : B : C : D = 1: 2 : 3 : 4$.
8. Tứ giác ABCD có $\angle {A} = 65^\circ, \angle {B} = 117^\circ, \angle {C} = 71^\circ$. Tính số đo góc ngoài tại đinh $D$.
9. Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
10. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$  bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh $B$ và $D$.
11. Tứ giác $ABCD$ có $\angle {A} = 110^\circ, \angle {B} = 100^\circ$. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các định C và D cắt nhau ở F. Tính $\angle CED, \angle CFD$.