Ánh xạ là gì?

Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp $A$ và $B$ khác rỗng. Một quy tắc cho tương ứng mỗi phần từ $x \in A$ với một và chỉ một phần tử $y \in B$ được gọi là một ánh xạ từ $A$ vào $B$.
Kí hiệu ánh xạ $f: A \rightarrow B, x \mapsto y=f(x)$.

Định nghĩa 2. Cho ánh xạ $f: A \rightarrow B$

• $x \in A, y=f(x)$ thì $f(x)$ được gọi ảnh của $x$ qua ánh xạ $f$.
• Với mọi $y \in B$, đặt $f^{-1}(y)={x \in A \mid f(x)=y}$ được gọi là tạo ảnh của $y$.
• $f(A)={f(x) \mid x \in A}$ được gọi là tập ảnh của ánh xạ.
  Ví dụ 1.
• 1. Qui tắc $f: A \rightarrow A$ thỏa $f(x)=x$, tức là cho tương ứng mỗi phần tử với chính nó là một ánh xạ, được gọi là ánh xạ đồng nhất, đôi khi kí hiệu là $I_d$.
• 2. $f: \mathbb{Z} \rightarrow \{-1, 0, 1\}$ thỏa $f(x)=-1$ nếu $x<0$, $f(x)=1$ nếu $x>0$ và $f(x)=0$ nếu $x=0 $ là một ánh xạ.
• 3. Cho tập $X, A$ là tập con khác rỗng của $X$. Xét $f: X \rightarrow{0,1}$ thỏa $f(x)=1$ nếu $x \in A, f(x)=0$ nếu $x \notin A$ là một ánh xạ
• 4. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa $x \mapsto y$ thỏa $y^2=x$ Không phải là ánh xạ.
• 5. Cho đường thẳng $d$, với mọi điểm $M$ cho tương ứng với $M’$ thuộc $d$ sao cho $MM’ \perp d$ nếu $M$ không thuộc $d$ và $M’ \equiv M$ nếu $M$ thuộc $d$ là một ánh xạ, được gọi là phép chiếu vuông góc trên đường thẳng $d$.
• 6. Cho $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x) = 3x + 1$ là ánh xạ.

Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Định nghĩa 3. Một ánh xạ được $f: A \rightarrow B$ được gọi là đơn ánh nếu và chỉ nếu $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Tức là với mọi $y$ thì $f^-1 (y)$ có không quá một phần tử.

Định nghĩa 4. Ánh xạ $f: A \rightarrow B$ là toàn ánh khi và chỉ khi mọi $y \in B$ thì tồn tại $x \in A$ sao cho $f(x)=y$. Với mọi $y \in B$ thì $f^{-1}(y)$ khác rỗng.
Định nghĩa 5. Một ánh xạ là toàn ánh nếu nó vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Tập $f^{-1}(y)$ có đúng một phần tử.
Ví dụ 2. Trong các ánh xạ của ví dụ 1 thì 1,6 là song ánh, 2, 3, 5 là toàn ánh nhưng không phải song ánh.

Ánh xạ hợp – Ánh xạ ngược

Định nghĩa 6. Cho song ánh từ $f: A \rightarrow B$. Ta xây dựng một ánh xạ từ $B$ vào $A$ như sau: với mỗi phần tử $b \in B$ cho tương ứng với phần tử $a \in A$ thỏa $a=f^{-1}(b)$, ánh xạ đó được gọi là ánh xạ ngược của $f$, kí hiệu là $f^{-1}$.
Ta có
$$
f^{-1}: B \rightarrow A, f^{-1}(x)=y \Leftrightarrow f(y)=x
$$
Ví dụ 3

a) Ánh xạ ngược của ánh xạ đồng nhất là ánh xạ đồng nhất.
b) Cho $A={1,2,3}, B={a, b, c}$.Xét song ánh từ $A \rightarrow B$ là $f(1)=b, f(2)=$ $a, f(3)=c$. Khi đó ánh xạ ngược $f^{-1}$ từ $B \rightarrow A$ là $f^{-1}(a)=2, f^{-1}(b)=1, f^{-1}(c)=3$.

c) Ánh xạ ngược của $f: R \rightarrow R, f(x) = 3x + 1$ là $f: R\rightarrow f(x) = \dfrac{1}{3} (x-1)$.

Định nghĩa 7. Cho $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ khi đó ánh xạ $g \circ f: A \rightarrow C$ thỏa
$$
g \circ f(a)=g(f(a))
$$
được gọi là ánh xạ hợp.

Ví dụ 4. Cho $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x+1, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^2$.
(a) Tìm $g \circ g, f \circ f$;
(b) $g \circ f, f \circ g$.

Tính chất 1. Nếu $f: A \rightarrow B$ là song ánh thì $f \circ f^{-1} = I_d trên $B$, và $f^{-1} \circ f $ là ánh xạ đồng nhất trên $A$.

Ánh xạ và phép đếm

Định nghĩa 8. Cho tập $A$ số nguyên dương $n$ và $X={0,1,2, \cdots, n}$. Nếu tồn tại một song ánh từ $A$ vào $X$ thì khi đó ta nói $A$ có hữu hạn phần tử và số phần tử của $A$ là $n$. Kí hiệu $|A|=n$. Nếu $A$ không khác rỗng và không có hữu hạn phần tử, ta nói $A$ là tập vô hạn.

Tính chất 2. Cho $A, B$ là các tập hữu hạn.

• Nếu tồn tại một đơn ánh từ $A$ vào $B$ thì $|A| \leq|B|$.
• Nếu tồn tại một toàn ánh từ $A$ vào $B$ thì $|A| \leq|B|$.
• Nếu tồn tại một song ánh từ $A$ vào $B$ thì $|A|=|B|$.