1.

• Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $AF$ là đường cao thì $HM.HN=HA.HF=HP.HQ$, suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc đường tròn.

2.

• Ta có $A{N}^2=AH.AF=AE.AC=A{Q}^2$, tương tự $AM=AP$. Suy ra $A$ là tâm của $(MNPQ)$.
• Gọi $V$ là giao điểm của $MP$ và $QN$.
• Ta có $\mathrm{\angle }PFN=\mathrm{\angle }PFA+\mathrm{\angle }AFN=\mathrm{\angle }AQP+\mathrm{\angle }AMN={180}^o–\mathrm{\angle }BAC–\mathrm{\angle }PAN$.
• Mặt khác $\mathrm{\angle }PVN={180}^o–\mathrm{\angle }VMQ–\mathrm{\angle }VQM={180}^o–\mathrm{\angle }PMN–\mathrm{\angle }PQN–\mathrm{\angle }HMQ–\mathrm{\angle }HQM={180}^o–\mathrm{\angle }PAN–\mathrm{\angle }BAC$.
• Do đó $\mathrm{\angle }PVN=\mathrm{\angle }PFN$, suy ra $FVNP$ nội tiếp.
• Khi đó $\mathrm{\angle }VFN=\mathrm{\angle }VPN=\mathrm{\angle }MQN={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }MAN=\mathrm{\angle }MAB={90}^o–\mathrm{\angle }AMN={90}^o–\mathrm{\angle }APN={90}^o–\mathrm{\angle }AFN=\mathrm{\angle }NFC$.
• Do đó $F,K,C$ thẳng hàng.