Bài toán. (PoP 1.10). Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $H$ là trực tâm.
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và đường tròn đường kính $AH$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh $AP$ đi qua trung điểm của $BC$.
- Chứng minh trực tâm tam giác $PEF$ thuộc một đường thẳng cố định.
Gợi ý
- Các đường cao $AN, BE, CL$ cắt nhau tại $H$. Gọi $AM$ là trung tuyến, $HP \bot AM$. Chứng minh $P \in (AEF)$.
$\dfrac{PK}{PN} = \dfrac{AC}{AB}$.
$BF.BA = BD.BC, BK.BA = BL.BC$, suy ra $KF.BA = DL.BC$.
Tương tự $EN.AC = DL.BC$, suy ra $\dfrac{KF}{EN} = \dfrac{AC}{AB}$.
Do đó tam giác $PKF$ và $PNE$ đồng dạng, suy ra $P \in (AEF)$.
- Gọi $X, Y$ là giao điểm của $(P;PA)$ với $AB, AC$. Chứng minh trực tâm tam giác $PEF$ thuộc $XY$.
Like this:
Like Loading...