Các bài toán chứng minh chia hết trong chương trình ôn thi vào lớp 10, dành cho các em rèn luyện.
Bài 1. (Lâm Đồng 2018 – 2019)
Với $ n $ là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng: $$ (20^n+16^n-3^n-1)\ \vdots \ 323. $$
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $5^{2n}+7$ chia hết cho 8.
Bài 3. (Bến Tre 2018 – 2019)
Cho $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $ p^2-1 $ chia hết cho 24.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $3^{3n+1} + 2^{n+2}$ chia hết cho 7.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu $\overline{abc}$ chia hết cho 37 thì $\overline{bca}$ cũng chia hết cho 37.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $(22n+7,33n+10)=1$
Bài 7. Chứng minh rằng nếu $a, b$ là các số nguyên thỏa $a^2 + b^2$ chia hết cho 3 thì cả hai số $a, b$ đều chia hết cho 3.
Bài 8. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $3^n + 5^n$ chia hết cho $3^{n-1} + 5^{n-1}$.
Bài 9. Cho $n$ là số tự nhiên không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k$ thì ${\left( {k + 1} \right)^n} – {k^n} – 1$ chia hết cho ${k^2} + k + 1$
Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ không chia hết cho $n$.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu $n$ không chia hết cho 7 thì $n^3-1$ hoặc $n^3+1$ chia hết cho 7.
Bài 12. (Tuyên Quang 2018 – 2019) Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: nếu $ a^{2016}+b^{2017}+c^{2018} $ chia hết cho 6 thì $ a^{2018}+b^{2019}+c^{2020} $ cũng chia hết cho 6.
Bài 13. Cho các số nguyên $x, y, z$ thỏa $(x-y)(y-z)(z-x) = x+ y + z$. Chứng minh rằng $x + y + z$ chia hết cho 27.
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a, b, c$ thì $abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)$ chia hết cho 7.
Bài 15. Cho tập $A= {1,2,3,4,5,6,7}$. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau lấy từ A. Chứng minh rằng không tồn tại hai số $b, c$ thuộc S sao cho $b$ chia hết cho $c$.
Bài 16. Cho các số nguyên $x, y, z$ khác 0.\ Đặt $x^2 – yz = a, y^2- xz = b, z^2 – xy = c$. \Chứng minh rằng $ax+by + cz $ chia hết cho $a+b+c$.
Bài 17. Chứng minh rằng trong một 100 số tự nhiên thì có một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho 100.
Bài 18. Chứng minh rằng trong tập mọi tập con có $n+1$ phần tử của tập ${1, 2, \cdots, 2n}$ thì luôn có hai số $a, b$ sao cho $a$ chia hết cho $b$.
Bài 19. (PTNK 2019)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+1$ chia hết cho 9.
b) Cho $n$ là số tự nhiên $n>3$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không chia hết cho $2^m-1$ với mọi số tự nhiên $m$ sao cho $2 < m \leq n$.
Bài 20. Cho hai số nguyên dương $m$, $n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2\left( m^2+n^2-1\right) $.
Chứng minh rằng $ m\cdot n $ là số chính phương.
Bài 21. Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thỏa mãn $n^3+2019$ chia hết cho $6$.
Bài 22. (Đại học KHTN Hà Nội 2018 – 2019) Cho $x$, $y$ là các số nguyên sao cho $ x^2-2xy-y^2$; $xy-2y^{2}-x$ đều chia hết cho 5. Chứng minh $ 2x^2+y^2+2x+y$ cũng chia hết cho 5.
Bài 23. Cho $n$ số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên $k$ ta đặt $S_k=1^k+2^k+….+n^k $. Chứng minh rằng: $S_{2019}\ \vdots \ S_1 $.
Bài 24. (Vinh 2018 – 2019) Cho số tự nhiên $ n\geq2 $ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $ p-1 $ chia hết cho $n$ đồng thời $ n^3-1 $ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $ n+p $ là một số chính phương.
Bài 25. Cho hai số $m,n$ nguyên dương lẻ nguyên tố cùng nhau và $m^2 + 2 \, \vdots \, n$ và $n^2 + 2 \, \vdots \, m$. Chứng minh rằng $m^2 + n^2 + 2$ chia hết cho $4mn$.
Bài 26. Cho các số $m,n$ nguyên dương thỏa $5m + n$ chia hết cho $5n+m$. Chứng minh $m$ chia hết cho $n$.
Bài 27. Cho các số $x,y$ nguyên dương thỏa $x^2 + y^2 + 10$ chia hết cho $xy$.
a) Chứng minh rằng $x,y$ là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng $k = \dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho 4 và $k \geq 12$.
Hết