Category Archives: Căn thức

Trục căn thức ở mẫu

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

  • 1A=AA.
  • 1AB=A+BAB.
  • 1A+B=ABAB.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) 12253.

b) 352.

c) 3+31+2+2+222.

Giải

a) 12253=12235.3=465

b) 352=3(5+2)(52)(5+2)=3(5+2)52=5+2

c) 3+31+2+2+222=(3+3)(21)(2+1)(21)+(2+2)(2+2)(22)(2+2)

=323+6321+6+4242

=323+63+3+22=523+6

Bài tập:

Bài 1:  Trục căn thức ở mẫu:

a) 73; 325; 5312; 2320.

b)3+353; 7771; 25+3; 5+252.

c) y+ayay; bbb1; b5+b; p2p1.

Bài 2: Tính:

a) 125+12+5.

b) 326+223432.

c) 2+323232+3.

d) 231+332+1233.

Bài 3: Rút gọn:

a) 3+23323+155+2.

b) 522510352.

c) 151252123.

d) 22+1122+1+1.

 

Khai phương một biểu thức

Tính chất 1: Với mọi A ta có hằng đẳng thức:

A2=|A|

Ví dụ 1: Tính:

a) (7)2.

b) (52)2.

c)(323)2.

Giải

a) (7)2=|7|=7.

b) (52)2=|52|=52.

c) (323)2=|323|=233.

Ví dụ 2: Khai căn các biểu thức sau:

a) 423, 4+23.

b) 7+26, 13212.

Giải

a) 423=323+1=(31)2=|31|=31.

4+23=3+23+1=(3+1)2=|3+1|=3+1.

b) 7+26=6+26+1=(6+1)2=|6+1|=6+1.

13212=12212+1=(121)2=|121|=121.

Tính chất 2: Cho A, B là các số không âm. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

  • AB=AB.
  • AB=AB (B>0).
  • A2B=|A|B.

Ví dụ 3:  Tính:

a) 25.169.

b) 4981.

c) 0,16.0,491,21.

Giải

a) 25.169=25.169=5.13=65

b) 4981=4981=78

c) 0,16.0,491,21=0,16.0,491,21=0,16.0,491,21=0,4.0,71.1=1455.

Bài tập:

Bài 1:  Rút gọn các biểu thức sau:

a) 38418.

b) 125220380.

c) 48427275+108.

Bài 2:  Thực hiện các phép tính:

a) A=(21)2+(2+3)2.

b) B=(3+22)2(32)2.

c) C=(2+1)3(22)3.

d) D=(23)(6+1)2(6+32).

Bài 3:  Khai căn các biểu thức sau:

a) 12+235, 18265.

b) 16+67, 1465.

c) 27+102, 9+45.

d) 212108, 17272.

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) x+2x1x2x1  với x2.

b) 2m+22m12m22m1.

c) x+3+4x1+x+86x1.

 

Căn bậc hai

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2=a.

Ví dụ 1: 

a) Căn bậc hai của 933.

b) Căn bậc hai của 422.

c) Căn bậc hai của 00.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm a là số x không âm thỏa x2=a.

Kí hiệu x=a.

Ví dụ 2:

a) 4=2.

b) 36=6.

Tính chất 1: Với a0 thì:

  • x=a thì x0x2=a. Hay a0(a)2=a.
  • Nếu x0x2=a thì x=a.

Tính chất 2: Cho a, b là các số không âm. Khi đó a<ba<b

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) 12.

b) 25.

c) 17290.

Giải

a) Ta có: 1<21<2.

b) Ta có: 4<52<5.

c) Ta có: 289<29017<290.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên x thỏa:

a) x<2.

b) 2<x<4.

Giải

a) Ta có:  Điều kiện x0, từ giả thiết x<2x<4.

Do x là số tự nhiên nên x{0,1,2,3}.

b) Ta có: 2<x4<xx<4x<16

Vậy 4<x<16 Do x tự nhiên nên x là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là 49. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông (x>0).
Vậy diện tích hình vuông là Sv=x2.
Diện tích hình chữ nhật là Shcn=49=36.
Sv=Shcnx2=36x=36=6 hoặc x=36=6. Do x>0 nên x=6.
Ta có chu vi hình vuông là Pv=4x=46=24.
Ta có chu vi hình chữ nhật là Phcn=2(9+4)=213=26.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu A là một biểu thức đại số, ta gọi Acăn thức bậc hai của A, A còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức A có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi A0.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định.

a) 2x1.

b) 43x.

c)x2.

Giải

a) 2x10x12

b) 43x0x43

c) x20 luôn đúng với mọi x

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi x.

a) x2+4.

b) x24x+4.

c) 2x24x+3.

Giải

a) Ta có: x2+40 với mọi x .

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

b) Ta có: x24x+4=(x2)20 với mọi x.

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

c) Ta có: 2x24x+3=2(x22x+1)+1=2(x1)2+10 với mọi x.

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

Bài tập: 

Bài 1: Tính :

a) 81.

b) 225.

c) 0,49.

d) 122+52.

e) 0,25(0,4)2.

Bài 2:  So sánh các căn sau:

a) 2025.

b) 2332.

c) 73210.

d) 33243+52.

e) 2+253.

Bài 3:  Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định:

a) 3x2.

b) 4x220x+25.

c) 595x.

d) x24.

Bài 4: Tìm x không âm, biết:

a) x=3.

b) x+2=7.

c) x+11=4.

d) x1=13.