Category Archives: Căn thức

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^{2} = a$ .

Ví dụ 1:

a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $- 3$ .

b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $- 2$ .

c) Căn bậc hai của $0$ là $0$ .

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^{2} = a$ .

Kí hiệu $x = \sqrt{a}$ .

Ví dụ 2:

a) $\sqrt{4} = 2$ .

b) $\sqrt{36} = 6$ .

Tính chất 1: Với $a \geq 0$ thì:

$x = \sqrt{a}$ thì $x \geq 0$ và $x^{2} = a$ . Hay $\sqrt{a} \geq 0$ và ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .
Nếu $x \geq 0$ và $x^{2} = a$ thì $x = \sqrt{a}$ .

Tính chất 2: Cho $a$ , $b$ là các số không âm. Khi đó $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) $1$ và $\sqrt{2}$ .

b) $2$ và $\sqrt{5}$ .

c) $17$ và $\sqrt{290}$ .

Giải

a) Ta có: $1 < 2 \Leftrightarrow 1 < \sqrt{2}$ .

b) Ta có: $4 < 5 \Leftrightarrow 2 < \sqrt{5}$ .

c) Ta có: $289 < 290 \Leftrightarrow 17 < \sqrt{290}$ .

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:

a) $\sqrt{x} < 2$ .

b) $2 < \sqrt{x} < 4$ .

Giải

a) Ta có: Điều kiện $x \geq 0$ , từ giả thiết $\sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$ .

Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in {0, 1, 2, 3}$ .

b) Ta có: $2 < \sqrt{x} \Leftrightarrow 4 < x$ và $\sqrt{x} < 4 \Leftrightarrow x < 16$

Vậy $4 < x < 16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$ . So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ( $x > 0$ ).
Vậy diện tích hình vuông là $S_{v} = x^{2}$ .
Diện tích hình chữ nhật là $S_{h c n} = 4 \cdot 9 = 36$ .
Mà $S_{v} = S_{h c n} \Leftrightarrow x^{2} = 36 \Leftrightarrow x = \sqrt{36} = 6$ hoặc $x = - \sqrt{36} = - 6$ . Do $x > 0$ nên $x = 6$ .
Ta có chu vi hình vuông là $P_{v} = 4 \cdot x = 4 \cdot 6 = 24$ .
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{h c n} = 2 \cdot (9 + 4) = 2 \cdot 13 = 26$ .
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$ , $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức $\sqrt{A}$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \geq 0$ .

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.

a) $\sqrt{2 x - 1}$ .

b) $\sqrt{4 - 3 x}$ .

c) $\sqrt{x^{2}}$ .

Giải

a) $2 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$

b) $4 - 3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{4}{3}$

c) $x^{2} \geq 0$ luôn đúng với mọi $x$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$ .

a) $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

b) $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ .

c) $\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 3}$ .

Giải

a) Ta có: $x^{2} + 4 \geq 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$ .

b) Ta có: $x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$ .

c) Ta có: $2 x^{2} - 4 x + 3 = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 1 = 2 {(x - 1)}^{2} + 1 \geq 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$ .

Bài tập:

Bài 1: Tính :

a) $\sqrt{81}$ .

b) $\sqrt{225}$ .

c) $\sqrt{0, 49}$ .

d) $\sqrt{12^{2} + 5^{2}}$ .

e) $- 0, 25 \sqrt{(- 0, 4)^{2}}$ .

Bài 2: So sánh các căn sau:

a) $\sqrt{20}$ và $2 \sqrt{5}$ .

b) $2 \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{2}$ .

c) $- 7 \sqrt{3}$ và $- 2 \sqrt{10}$ .

d) $\sqrt{3} - 3 \sqrt{2}$ và $- 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}$ .

e) $2 + \sqrt{2}$ và $5 - \sqrt{3}$ .

Bài 3: Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:

a) $\sqrt{3 x - 2}$ .

b) $\sqrt{4 x^{2} - 20 x + 25}$ .

c) $\sqrt{\frac{- 5}{9 - 5 x}}$ .

d) $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:

a) $\sqrt{x} = 3$ .

b) $\sqrt{x} + 2 = 7$ .

c) $\sqrt{x + 1} - 1 = 4$ .

d) $\sqrt{x - 1} = \sqrt{13}$ .

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Category Archives: Căn thức

Trục căn thức ở mẫu

Khai phương một biểu thức

Căn bậc hai