1.Định nghĩa. Cho tập $A$ có $n$ phần tử, mỗi cách lấy ra $k$ phần tử ($1 \leq k \leq n$) từ $A$ và sắp xếp nó vào $k$ vị trí được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$.
Ví dụ. Cho $A = {a, b, c, d}$. Các chỉnh hợp chập $2$ của $A$ là $ab, ba, ac, ca,da, ad, bc, cb, bd, db, cd, dc$.
Tính chất. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu $A_n^k = n \times (n-1) \cdots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.
2. Ví dụ.
Ví dụ 1. Lớp 11 văn có 30 bạn trong đó có 4 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 bạn, trong đó một bạn làm bí thư, một bạn làm lớp trưởng, một bạn lớp phó thể mỹ, một bạn lớp phó học tập, biết rằng lớp trưởng luôn là con trai các bạn còn lại phải là con gái.
Lời giải.
- Chọn bạn lớp trưởng có 4 cách chọn từ các bạn nam.
- Mỗi cách chọn bí thư, lớp phó học tập, lớp phó thể mỹ từ các bạn gái là một chỉnh hợp chập 3 của 26, suy ra số cách chọn là $A^4_{26}$.
- Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn là $4\cdot A^4_{26}$ cách.
Ví dụ 2. Cho tập $A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }$.
a. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó không có chữ số 0.
b. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.
Lời giải.
a. Mỗi số có 4 chữ số khác nhau không có chữ số 0 là một chỉnh hợp 4 phần tử của tập ${1, 2, 3, 4, 5 }$. Do đó số các số là số chỉnh hợp chập 4 của 5 bằng $A^4_5 = 120$ số.
b. Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$.
- Số cách chọn $a$ có: 5 cách.
- Mỗi cách chọn bộ $\overline{bcd}$ là một chỉnh hợp của tập 5 phần tử $A \setminus \{a\}$. Do đó số bộ $\overline{bcd}$ là: $A^3_5$.
- Vậy số các số lập thoả đề bài: $5 \cdot A^3_5 = 300$ số.
Bài tập.