Bài 1 (2 điểm).

a) $2\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sqrt{3}$

$\iff \cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\iff [\begin{array}{l}2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi \\ \\ 2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{24}}+k\pi \\ \\ x=-{\displaystyle \frac{5\pi }{24}}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy $S=\{-{\displaystyle \frac{\pi }{24}}+k\pi ;-{\displaystyle \frac{5\pi }{24}}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$.

b) $\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$

$\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x=1$

$\iff \sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=1$

$\iff x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

Vậy $S=\{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$.

Bài 2 (1 điểm).

Gọi $A$ là biến cố được $2$ số khác nhau ${\mathrm{\Omega }}_A=\{(a;b)|a,b\in \{1,2,\dots ,6\},a\ne b\}$

$\Rightarrow |{\mathrm{\Omega }}_A|=6\cdot 5=30$ $\Rightarrow P(A)={\displaystyle \frac{30}{36}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Vậy xác suất để số chấm xuất hiện trong hai lần gieo khác nhau là ${\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Bài 3 (1 điểm).

Gọi số có 4 chữ số thỏa yêu cầu đề bài là $\overline{abcd}$.
$\overline{abcd}$ là số chẵn nên $d\in \{2,4,6\}$ suy ra $d$ có $3$ cách chọn.
$\overline{abc}$ có $A_5^3$ cách chọn.
$\Rightarrow$ Số số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $3\cdot A_5^3=3\cdot 5\cdot 4\cdot 4=180$.

Bài 4 (1 điểm).

Ta có: ${(1-3x)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{(–3x)}^k$.

Suy ra $a_0=1$, $a_1=-3C_n^1$, $a_2=9C_n^2$

Ta có: $a_0+a_1+a_2=376$

$\Rightarrow 1-3C_n^1+9C_n^2=376$

$\Rightarrow 1–3n+{\displaystyle \frac{9n(n-1)}{2}}=376\Rightarrow n=10$

Vậy $a_3=(-3{)}^3{C}_{10}^3=-3240$

Bài 5 (1 điểm).

a) $v_n=u_n+n+1$
$v_{n+1}=u_{n+1}+n+1+1$

$=2u_n+n+n+2$

$=2(u_n+n+1)$

$=2v_n$ $(\mathrm{\forall }n)$

Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân.

b) $v_1=1+1+1=3\Rightarrow v_n=3\cdot 2^{n-1}$

$v_1+v_2+\cdots +v_n=3(1+2+\cdots +2^{n-1})$

         $=3(2^n-1)$

Ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_1=v_1-1-1=v_1-2\\ \\ u_2=v_2-2-1=v_2-3\\ .\\ .\\ .\\ u_n=v_n–(n+1)\end{array}$

$\Rightarrow u_1+u_2+\cdots +u_n=v_1+v_2+\cdots +v_n–(2+3+\cdots +n+1)$

   $=3(2^n-1)–{\displaystyle \frac{[2+(n+1)]\cdot n}{2}}$

   $=3\cdot 2^n–{\displaystyle \frac{n\cdot (n+3)}{2}}-3$

Vậy $S_n=3\cdot 2^n–{\displaystyle \frac{n\cdot (n+3)}{2}}-3$

Bài 6 (1 điểm).

Gọi số có $4$ chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\overline{abba}$

• Trường hợp 1: $a=b$ suy ra ta có $9$ số là $1111$, $2222$, . . ., $9999$.
• Trường hợp 2: $a\ne b$ ta có $A_{10}^2-9=81$ số.

$\Rightarrow$ có $90$ số có $4$ chữ số là số đối xứng.

Ta có: $\overline{abcd}=a\cdot 1001+110\cdot b⋮7\Rightarrow b⋮7\Rightarrow [\begin{array}{l}b=0\\ \\ b=7\end{array}$

Với $b=0$ hoặc $b=7$ ta có $18$ số đối xứng có $4$ chữ số chia hết cho $7$.

Vậy xác suất để chọn được số chia hết cho $7$ là ${\displaystyle \frac{18}{90}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$.

Bài 7 (3 điểm).

a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $BM\cap AC=K$

Ta có: $\{\begin{array}{l}K=BM\cap AC\\ \\ AC\subset (SAC)\end{array}$ $\Rightarrow K=BM\cap (SAC)$

b) Trong mặt phẳng $(SAD)$ có:

•  ${\displaystyle \frac{AP}{PS}}={\displaystyle \frac{AN}{ND}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow NP//SD$

Ta có: $\{\begin{array}{l}NP//SD\\ \\ SD\subset (SCD)\end{array}$

$\Rightarrow NP//(SCD)$

• ${\displaystyle \frac{CM}{AB}}={\displaystyle \frac{CK}{AK}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{CK}{AK}}={\displaystyle \frac{ND}{AN}}\Rightarrow NK//CD$

Ta có: $\{\begin{array}{l}NK//CD\\ \\ CD\subset (SCD)\end{array}$

$\Rightarrow NK//(SCD)$

Mà $NP$, $NK\subset (PNK)\Rightarrow (PNK)//(SCD)$.

c) Gọi $Q=SG\cap BC$, $T=QM\cap AD$.

Ta có: ${\displaystyle \frac{QM}{MT}}={\displaystyle \frac{CM}{MD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{QG}{GS}}$

$\Rightarrow MG//ST$ mà $ST\subset (SAD)\Rightarrow MG//(SCD)$