Bài 1 (2 điểm). Giải các phương trình sau:
a) $2\cos \left( 2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}$
b) $\sqrt{3}\sin x + \cos x =2$
Bài 2 (1 điểm). Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trong hai lần gieo khác nhau.
Bài 3 (1 điểm). Từ các chữ số $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn có $4$ chữ số khác nhau?
Bài 4 (1 điểm). Khai triển nhị thức $(1-3x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$. Biết $a_0 + a_1 + a_2 = 376$, tính $a_3$.
Bài 5 (1 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l}u_1=1\\ u_{n+1}= 2u_n + n\end{array}\right. $
a) Chứng minh dãy số $v_n = u_n + n+1$ là cấp số nhân.
b) Đặt $S_n=u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Tính $S_n$ theo $n$.
Bài 6 (1 điểm). Một số nguyên dương gọi là đối xứng nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được số bằng số ban đầu, ví dụ số $1221$ là một số đối xứng. Chọn ngẫu nhiên một số đối xứng có $4$ chữ số, tính xác suất chọn được số chia hết cho $7$.
Bài 7 (3 điểm). Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là các điểm trên cạnh $CD$, $AD$, $SA$ thỏa $MD = 2MC$, $NA = 3ND$, $PA=3PS$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$.
a) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(SAC)$.
b) Chứng minh mặt phẳng $(NPK)$ song song mặt phẳng $(SCD)$.
c) Chứng minh đường thẳng $MG$ song song mặt phẳng $(SAD)$.
Bài 1 (2 điểm).
a) $2\cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \cos \left( 2x+\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \\\\ 2x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right.(k\in \mathbb{Z}) $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -\dfrac{\pi}{24} + k\pi \\\\ x= -\dfrac{5\pi}{24} + k\pi\end{array}\right. (k\in \mathbb{Z})$
Vậy $S=\left\{ -\dfrac{\pi}{24} + k\pi; -\dfrac{5\pi}{24} + k\pi \ | \ k\in \mathbb{Z} \right\} $.
b) $\sqrt{3} \sin x + \cos x =2$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2} \cos x =1$
$\Leftrightarrow \sin \left( x+ \dfrac{\pi}{6}\right) =1$
$\Leftrightarrow x+ \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi $ $(k\in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$
Vậy $S=\left\{ \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ | \ k\in \mathbb{Z} \right\} $.
Bài 2 (1 điểm).
Gọi $A$ là biến cố được $2$ số khác nhau $\Omega _A = \left\{ (a;b)\ | \ a, b \in \left\{ 1,2,…,6\right\} , a\ne b\right\} $
$\Rightarrow |\Omega _A | = 6\cdot 5 = 30$ $\Rightarrow P(A) = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6}$
Vậy xác suất để số chấm xuất hiện trong hai lần gieo khác nhau là $\dfrac{5}{6}$.
Bài 3 (1 điểm).
Gọi số có 4 chữ số thỏa yêu cầu đề bài là $\overline{abcd}$.
$\overline{abcd}$ là số chẵn nên $d\in \left\{ 2,4,6 \right\} $ suy ra $d$ có $3$ cách chọn.
$\overline{abc}$ có $A^3 _5$ cách chọn.
$\Rightarrow $ Số số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $3\cdot A^3 _5 = 3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 =180$.
Bài 4 (1 điểm).
Ta có: $\left( 1-3x\right) ^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{( – 3x)}^k}} $.
Suy ra $a_0 =1$, $a_1 = -3C_n ^1$, $a_2 = 9 C_n ^2$
Ta có: $a_0 + a_1 + a_2 = 376$
$\Rightarrow 1 -3C_n ^1 + 9 C_n ^2 =376$
$\Rightarrow 1 – 3n + \dfrac{9n(n-1)}{2} = 376 \Rightarrow n=10$
Vậy $a_3 = (-3)^3C_{10} ^3 = -3240$
Bài 5 (1 điểm).
a) $v_n = u_n + n +1$
$v_{n+1} = u_{n+1} + n+1 +1$
$ = 2u_n + n + n + 2 $
$= 2\left( u_n + n + 1\right)$
$ =2v_n$ $(\forall n)$
Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân.
b) $v_1 = 1+1+1 =3 \Rightarrow v_n = 3\cdot 2^{n-1}$
$v_1+ v_2 + \dots + v_n = 3\left( 1+2+\dots + 2^{n-1}\right) $
$= 3\left( 2^n -1\right) $
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}u_1 = v_1 -1 -1 = v_1 -2\\\\ u_2 = v_2 -2 -1 = v_2 -3\\ .\\ .\\ .\\ u_n = v_n – (n+1)\end{array}\right. $
$\Rightarrow u_1 + u_2 + \dots + u_n = v_1 + v_2 + \dots + v_n – \left( 2+3+\dots + n+1\right) $
$= 3\left( 2^n -1\right) – \dfrac{[2+(n+1)]\cdot n}{2}$
$= 3\cdot 2^n – \dfrac{n\cdot (n+3) }{2} -3$
Vậy $S_n = 3\cdot 2^n – \dfrac{n\cdot (n+3) }{2} -3$
Bài 6 (1 điểm).
Gọi số có $4$ chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\overline{abba}$
- Trường hợp 1: $a=b$ suy ra ta có $9$ số là $1111$, $2222$, . . ., $9999$.
- Trường hợp 2: $a\ne b$ ta có $A_{10} ^2 -9=81$ số.
$\Rightarrow $ có $90$ số có $4$ chữ số là số đối xứng.
Ta có: $\overline{abcd} = a\cdot 1001 + 110\cdot b \ \vdots \ 7 \Rightarrow b\ \vdots \ 7 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=0\\\\ b=7\end{array}\right. $
Với $b=0$ hoặc $b=7$ ta có $18$ số đối xứng có $4$ chữ số chia hết cho $7$.
Vậy xác suất để chọn được số chia hết cho $7$ là $\dfrac{18}{90} = \dfrac{1}{5}$.
Bài 7 (3 điểm).
a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $BM \cap AC = K$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}K= BM \cap AC\\\\ AC \subset (SAC)\end{array}\right. $ $\Rightarrow K = BM \cap (SAC)$
b) Trong mặt phẳng $(SAD)$ có:
- $\dfrac{AP}{PS} = \dfrac{AN}{ND} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow NP//SD$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}NP//SD \\\\ SD\subset (SCD)\end{array} \right. $
$\Rightarrow NP//(SCD)$
- $\dfrac{CM}{AB} = \dfrac{CK}{AK} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{CK}{AK} = \dfrac{ND}{AN} \Rightarrow NK // CD$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}NK // CD\\\\ CD\subset (SCD)\end{array}\right. $
$\Rightarrow NK // (SCD)$
Mà $NP$, $NK \subset (PNK) \Rightarrow (PNK) // (SCD)$.
c) Gọi $Q=SG\cap BC$, $T= QM \cap AD$.
Ta có: $\dfrac{QM}{MT} = \dfrac{CM}{MD} = \dfrac{1}{2}= \dfrac{QG}{GS}$
$ \Rightarrow MG // ST$ mà $ST \subset (SAD) \Rightarrow MG // (SCD)$
