Bài 1.
a) Nghiệm của phương trình $x={\displaystyle \frac{9}{4}}$
b) Phương trình tương đương: $(x+4{)}^2+|x+4|-2=0$. Đặt $t=|x+4|$, phương trình trở thành $t^2+t-2=0$.

Từ đó giải được tập nghiệm của phương trình là $S=\{-3;-5\}$
Bài 2. $(P):y=x^2-4x+2$

Bài 3. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thì $\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ \mathrm{\Delta }=m^2+14m+1>0\end{array}$

Theo Viete, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{4(m+1)}{(m-1{)}^2}}(2)\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{3}{(m-1{)}^2}}(3)\end{array}$

Vì nghiệm này gấp ba nghiệm kia nên từ $(2)$, ta tìm được $x_1$, $x_2$ theo $m$, sau đó thay vào $(3)$ giải được $m=0$ (nhận)

Vậy $m=0$

Bài 4. Để hệ có nghiệm duy nhất thì $D\ne 0\iff m\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Tính $D_x$, $D_y$, suy ra $x={\displaystyle \frac{4}{2m+1}}$, $y={\displaystyle \frac{2m-1}{2m+1}}$.

Để nghiệm nguyên thì $2m+1\in U(4)$ và $2m-1⋮2m+1$. Từ đó suy ra $m\in \{-1;3\}$
Bài 5. Vì $\cos a\ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của $P$ cho ${\cos }^{3}a$, ta được:
$$P={\displaystyle \frac{16-{\tan }^{3}a+5({\tan }^{2}a+1)}{9({\tan }^{2}a+1)+{\tan }^{3}a}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$
Bài 6.
a) Xét tích vô hướng:
$$\begin{gathered} \left[(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}–(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{a} \\ =|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\cdot |\overrightarrow{c}|\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot \cos (\overrightarrow{c},\overrightarrow{a})–|\overrightarrow{c}|\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot \cos (\overrightarrow{c},\overrightarrow{a})\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0 \end{gathered}$$
Suy ra $\left[(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}–(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}\right]$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$
b) $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$; $(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$

Xét trường hợp $\overrightarrow{a}$ không cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì mệnh đề trên sai. Vậy mệnh đề trên sai.

Bài 7. $\overrightarrow{v}=(-{\displaystyle \frac{13}{10}};{\displaystyle \frac{13}{5}})\Rightarrow |\overrightarrow{v}|={\displaystyle \frac{13\sqrt{5}}{10}}$
Bài 8. $I(1;3)$, $R=5$
Bài 9. Để $MNP$ là tam giác thì $m\ne 1$

$\cos NMP={\displaystyle \frac{2+(m-1{)}^2}{\sqrt{1+(m-1{)}^2}\sqrt{4+(m-1{)}^2}}}>0,\mathrm{\forall }m$ nên $\mathrm{\angle }NMP$ là góc nhọn.