Đề thi và đáp án tuyển sinh vào 10 TPHCM 2019

Đề thi vào lớp 10 TPHCM năm 2019

Bài 1. Cho parabol $(P): y= -\dfrac{1}{2} x^2 $ và đường thẳng $(d): y= x-4$.

a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.

Giải

a) Bảng giá trị:

  • $y=x-4$

  • $y=-\dfrac{1}{2}x^2$

(Học sinh tự vẽ)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:

$-\dfrac{1}{2}x^2 = x-4 \Leftrightarrow x^2 +2x-8=0 \Leftrightarrow (x+4)(x-2)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-4 \Rightarrow y=-8 \\ x=2 \Rightarrow y=-2 \end{array} \right. $

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(-4;-8)$ và $(2;-2)$.

Bài 2. Cho phương trình: $2x^2 -3x-1 =0$ có 2 nghiệm là $x_1$, $x_2$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A=\dfrac{x_1-1}{x_2+1} + \dfrac{x_2-1}{x_1+1}$

Giải

Ta có: $\Delta = 9+8=17 >0$

$\Rightarrow $ Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = \dfrac{3}{2} \\ x_1x_2 = – \dfrac{1}{2} \end{array} \right. $

$A= \dfrac{x_1-1}{x_2+1} + \dfrac{x_2 -1}{x_1 +1}$

$= \dfrac{x_1^2 -1 + x_2^2-1}{x_1x_2 +x_1+x_2+1} $

$= \dfrac{\left( x_1 + x_2 \right) ^2 – 2x_1x_2 -2}{-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{3}{2}+ 1} $

$= \dfrac{\dfrac{9}{4}+1-2}{2} = \dfrac{5}{8} $

Bài 3. Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày $n$, tháng $t$, năm $2019$ là ngày thứ mấy trong tuần. Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức $T=n+ H$, ở đây $H$ được xác định bởi bảng sau:

Sau đó, lấy $T$ chia cho $7$ ta được số dư $r$ ($0 \le r \le 6$)

Nếu $r=0$ thì ngày đó là ngày thứ Bảy.

Nếu $r=1$ thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.

Nếu $r=2$ thì ngày đó là ngày thứ Hai.

…

Nếu $r=6$ thì ngày đó là ngày thứ Sáu.

Ví dụ: Ngày $31/12/2019$ có $n=31$; $t=12$; $H=0 \Rightarrow T=31+0=31$; số $31$ chia cho $7$ có số dư là $3$, nên ngày đó là thứ Ba.

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày $02/09/2019$ và $20/11/2019$ là thứ mấy?

b) Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng $10/2019$. Hỏi sinh nhật của bạn Hằng là ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của $3$ và là thứ Hai.

Giải

a)

  • Ngày $02/09/2019$ có $n=2$, $t=9$; $H= 0$ suy ra $T= 2+0= 2$; 2 chia $7$ dư $2$ nên đó là ngày thứ Hai.
  • Ngày $20/11/2019$ có $n=20$, $t= 11$, $H=-2$ suy ra $T= 20 -2 =18$; $18$ chia $7$ dư $4$ nên đó là ngày thứ Tư.

b) $t=10$; $H=2$ suy ra $T= n+2$

Vì sinh nhật Hằng là thứ Hai nên $T$ chia $7$ dư $2$, suy ra $n$ chia hết cho $7$

Suy ra $n \in \left\{ 7;14;21;28 \right\} $

Lại có $n$ chia hết cho $3$ nên $n=21$

Vậy sinh nhật của Hằng là $21/10/2019$.

Bài 4. Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khi quyển và là $1$ atm (atmosphere). Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm $1$ atm cho mỗi $10$ mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất $y$ (atm) và độ sâu $x$ (m) dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b$

a) Xác định các hệ số $a$ và $b$

b) Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là $2,85$ atm?

Giải

a) Ta có: $y= 1+ \dfrac{x}{10}$

Vậy $a= \dfrac{1}{10}$ và $b=1$

b) Ta có: $2,85= 1+ \dfrac{x}{10} \Rightarrow x= 18,5$ (m)

Vậy người thợ lặn ở độ sâu $18,5$ mét.

Bài 5. Một nhóm gồm $31$ bạn học sinh tổ chức một chuyến đi du lịch (chi phí chuyển đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có $3$ ban bận việc đột xuất không đi được nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm $18 000$ đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho $3$ bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí chuyến đi là bao nhiêu?

Giải

Tổng số tiền $28$ bạn còn lại đã đóng thêm:

$$ 18000 \cdot 28 = 504000 \text{ (đồng)}$$

Số tiền trên chính là tổng số tiền $3$ bạn phải đóng lúc đầu nếu vẫn đi du lịch, nên số tiền mỗi bạn phải đóng lúc đầu nếu đi đủ $31$ bạn là:

$$ 504000 : 3= 168000 \text{ (đồng)}$$

Tổng chi phí chuyến đi là:

$$ 168000 \cdot 31 = 5208000 \text{ (đồng)}$$

Bài 6. Cuối năm học, các bạn lớp $9A$ chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến $47^\circ $ và $72^\circ $.

a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng $20 000$ km.

b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đao của trái đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo công thức $V= \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot R^3$ với $R$ là bán kính hình cầu.

Giải

a) Ta có: $\angle AOB = 72^\circ – 47^\circ = 25^\circ $

Khoảng cách giữa hai vị trí tham quan: $20000 \cdot \dfrac{25}{180} \approx 2800$ (km)

b) Gọi $R$ là bán kính trái đất.

Độ dài đường xích đạo bằng $2$ lần độ dài đường kinh tuyến và bằng: $40000$ km

$\Rightarrow 2R \cdot 3,14 = 40000 \Rightarrow R \approx 6400$ (km)

Thể tích trái đất: $V = \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot R^3 = 1097509546667 \; (km^3)$

Bài 7. Bạn Dũng trung bình tiêu thụ $15$ ca-lo cho mỗi phút bơi và $10$ ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất $1,5$ giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết $1200$ ca-lo. Hỏi hôm nay bạn Dũng mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Giải

$1,5$ giờ $= 90$ phút

Gọi $x$, $y$ (phút) lần lượt là thời gian Dũng mất cho việc bơi và chạy bộ. ($x,y>0$)

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x+ y =90 \\ 15x+ 10y= 1200 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x= 60 \\ y=30 \end{array} \right. $

Vậy Dũng đã bơi $60$ phút và chạy bộ $30$ phút.

Bài 8. Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ và $(O)$ lần lượt tại $F$ và $K$ ($K\ne A$). Gọi $L$ là hình chiếu của $D$ lên $AB$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BEDC$ nội tiếp và $BD^2 = BL \cdot BA$

b) Gọi $J$ là giao điểm của $KD$ và $(O)$ ($J \ne K$). Chứng minh $\angle BJK = \angle BDE$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BJ$ và $ED$. Chứng minh tứ giác $ALIJ$ nội tiếp và $I$ là trung điểm của $ED$.

Giải

a) Tứ giác $BEDC$ có $\angle BEC= \angle BDC = 90^\circ$ nên tứ giác $BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

Tam giác $BDA$ vuông tại $D$ có $DL \bot BA$ nên ta có $BD^2=BL \cdot BA$

b) Có $ \angle BJK = \angle BCK =\angle BAK$ mà tứ giác $ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ nên $\angle EAH= \angle BDE$ suy ra $\angle BJK =\angle BDE$.

c) Có $\angle BJK=\angle BDE$ suy ra $\Delta BDI \sim \Delta BJD (g-g)$ ta thu được $BD^2=BI \cdot BJ$

mà theo câu a) ta có $BD^2=BL \cdot BA$ nên $\Delta BIL \sim \Delta BAJ (c-g-c)$ suy ra $\angle BLI = \angle BJA$ do đó tứ giác $ALIJ$ nội tiếp.

Có $\angle LEI=\angle ACB=\angle AJB =\angle ELI$ suy ra tam giác $LEI$ cân tại $I$ nên $IL=IE$.

Tương tự $IL=ID$ suy ra $IE=ID (dpcm)$.