Định nghĩa. Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau.

Tính chất. Hình vuông có mọi tính chất của hình thoi và hình chữ nhật.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác một góc.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
• Hình thoi có một góc vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Bài tập rèn luyện

Bài 1.  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phân giác trong góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E$, $F$ là hình chiếu của $D$ trên các đường thẳng $AB$ và $AC$.

a) Tứ giác $AEDF$ là hình gì? Tại sao?
b) Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Tính $\angle EHF$.
c) Đường trung trực cạnh $BC$ cắt $AD$ tại $M$. Tính $\angle CBM$.

Bài 2. Cho tam giác vuông $ABC$ vuông góc tại $A$. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông $ABDE$ và $ACFG$. Gọi $K$ là giao điểm các tia $DE$ và $FG$; $M$ là trung điểm của $EG$.

a) Chứng minh ba điểm $K$, $M$, $A$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $MA \bot BC$
c) Chứng minh các đường thẳng $DC$, $FB$, $AM$ đồng qui.

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Trên các cạnh $BC, CD$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $\widehat {MAN} = 45^\circ$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AM$ cắt $CD$ tại điểm $E$.

a) Chứng minh $DE = BM$.
b) Tính khoảng cách từ $A$ đến $MN$.
c) Chứng minh chu vi $CMN$ có độ dài không đổi.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 3AB$. Trên $AC$ lấy $M,N$ sao cho $AM = MN = NC$. Chứng minh $\widehat {AMB} =\widehat {ANB} + \widehat{ ACB}$.

Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$, $E$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $AB$. Vẽ hình vuông $ DEFG $. Chứng minh $DB \bot DF$ [gợi ý].

Bài 6. Cho hai hình vuông cạnh nhau $ABCD$ và $DEFG$ (điểm $E$ thuộc cạnh $CD$). Đường thẳng $GE$ cắt $BC$ tại $H$. Kẻ $CM$ song song với $HG$ ($M$ thuộc $FG$). Chứng minh rằng (a) $AH = HM$, (b) $\angle AHM = 90^\circ$ [gợi ý].