1. Phép biến hình
a) Định nghĩa. Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất $M’ $ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Ta thường kí hiệu phép biến hình là $F$ và viết $F(M) = M’ $ hay $M’ = F(M)$, khi đó $M’ $ gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình $F$.
- Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
- Nếu $H$ là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu $H’ = F(H)$ là tập các điểm $M’ = F(M)$, với mọi điểm $M$ thuộc $H$. Khi đó ta nói $F$ biến hình $H$ thành $H’ $ hay $H’ $ là ảnh của $H$ qua phép biến hình $F$.
b) Ví dụ
- Cho điểm $O$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OM’}$ là một phép biến hình. Phép này được gọi là phép đối xứng tâm $O$.
- Cho đường thẳng $\Delta$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M’$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên $\Delta$ là một phép biến hình.
- Cho số thực $r >0$, qui tắc cho tương ứng điểm $M$ với $M’$ sao cho $MM’ = r$ không phải là phép biến hình.
c) Biểu thức toạ độ của phép biến hình
Trong mặt phẳng toạ độ xét phép biến hình $f: M(x;y) \mapsto M'(x’;y’)$, khi đó $x’ = g(x;y), y’ = h(x;y)$ thì đây được gọi là biểu thức toạ độ của phép biến hình.
Ví dụ. Cho phép biến hình $f: M(x;y) \mapsto M'(x’;y’)$ thoả $x’ = 2x + 1, y’ = y-1$.
2. Phép dời hình
a) Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Trong ví dụ 1 là phép dời hình, ví dụ 2 không là phép dời hình.
b) Tính chất. Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng giữ nguyên thứ tự, biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đó; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, biến góc thành góc bằng góc đó,…
Các phép dời hình đã học: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục.