Phép chia hết – Phép chia có dư

Leave a reply
Một lớp học có 40 học sinh sắp hàng vào lớp. Nếu lớp trưởng bảo sắp thành 4 hàng đều nhau thì các học sinh đều biết rằng mỗi hàng là 10 học sinh. Nhưng khi lớp trưởng vào sắp thành 3 hàng thì các bạn học sinh không thể sắp được như thế, nếu sắp mỗi hàng 13 người thì chỉ mới 39, còn dư 1 người. Khi đó người ta nói 40 học sinh có thể chia hết cho 4 và 40 chia 3 dư 1.

Trên đây là một ví dụ cho phép chia hết và phép chia có dư. Và trong thực tế chúng ta sẽ gặp rất nhiều trường hợp phải chia một đại lượng có giá trị nguyên thành nhiều phần, có thể chia đều tương ứng với phép chia hết hoặc không thể chia đều tương ứng với phép có dư.

Định nghĩa 1. Cho hai số nguyên $a$ và $b$ với $(b\neq 0) $. Nếu tồn tại số nguyên $m$ sao cho $ a=bm $ (1), ta nói rằng $a$ chia hết cho $b$ hay $b$ chia hết $a$. Kí hiệu $ a \vdots b $ hay $ b|a $. Ngược lại, nếu không có số nguyên nào thỏa mãn đẳng thức (1) thì ta nói $a$ không chia hết cho $b$.

Ví dụ 1. 6 chia hết cho 3 vì $6 = 3 \times 2$.

Tính chất 2. Cho $a, b, c$ là các số nguyên. Khi đó ta có các tính chất sau:

  1. Nếu $ a \, \vdots \, c, b\, \vdots \,c $ thì $ (a+b)\, \vdots c, (a-b)\,\vdots \,c $
  2. Nếu $ a \,\vdots \,b, b\, \vdots \,c $ thì $ a\,\vdots \,c $
  3. Nếu $ a \vdots b $, thì $ m.a\vdots m.b $ với mọi số nguyên m.
  4. Nếu $ a\,vdots \,c, b\,\vdots \,c $ thì $ (x.a+y.b)\,\vdots \,c $ với mọi số nguyên $x,y$.
  5. Số 0 chia hết cho mọi số nguyên , mọi số nguyên đều chia hết cho số 1 và chính nó.

Định lý 3. Cho $ a $ là số nguyên, $ b $ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số nguyên $ q $ và số nguyên $ r $ thỏa $ 0\leq r\leq b-1 $ và $ a=bq+r. $

Chứng minh

Đặt tập $ S={a-bk , a-bk\geq 0} $ (k nguyên). Trước hết ta chứng minh $ S\neq \varnothing $.

Thật vậy, nếu $ a\geq 0 $ thì $ a=a-b\cdot 0 $, nên $ a\in S $. Nếu a<0, $ a-b\cdot a=a(1-b)\geq 0 $ vì ($ 1-b\leq 0 $). Do đó $ a-ba\in S. $

S là tập khác rỗng các số nguyên không âm nên có phần tử nhỏ nhất.

Đặt $ r=\min S $. Khi đó, có số nguyên q sao cho $ a-bq=r $ hay $ a=bq+r $.

Ta chứng minh $ 0\leq r <b $. Vì $ r\in S $ nên $ r\geq 0 $.

Giả sử $ r\geq b $. Ta có $ a=bq+r=bq+b+r-b=b(q+1)=r-b $

Suy ra $ a-b(q+1)=r-b\geq 0 $, suy ra $ r-b\in S $ và $ r-b<r $ (vô lý và r là số nhỏ nhất của tập hợp S). Vậy r<b.

Tiếp theo ta chứng minh sự duy nhất của bộ số (q,r). Giả sử tồn tại p và t sao cho $ 0\leq t<b, a=b.p+t $. Vì $ bq+r=bp+t $ nên $ t-r=b(q-p) $ chia hết cho b. Mặt khác do $ 0\leq r, t<b, $ suy ra $ 0\leq |t-r|<b .$ Từ đó ta có $ |t-r|=0 $, suy ra $ t=r, p=q. $

Sổ trong định lý 3 được gọi là số dư của a khi chia cho b, q được gọi là thương của phép chia. Vậy một số nguên khi chia cho số nguyên dương k được số k dư là 0,1,2,…,k-1. Từ đó, một số nguyên a bất kì có thể được biểu diến thành 1 trong các dạng sau: $ kq, kq+1, kq+2, …,kq+(k-1) $. Sự biểu diễn một số nguyên thành các dạng như trên sẽ rất hiệu quả khi ta giải các bài toán số học.

Hệ quả 4. Hai số nguyên $a,b$ khi chia cho $m$ có cùng số dư khi và chỉ khi $a-b$ chia hết cho $m$.

Chứng minh

Nếu $a,b$ có cùng số dư $r$ khi chia cho $m$, khi đó hai số nguyên $k,l$ thỏa mãn $ a=mk+r, b=ml+r $.

Suy ra $ a-b=m(k-l) $ chia hết cho $m$.

Cho $ a-b $ chia hết cho m, khi đó $ a-b=mp $. Giả sử số dư của a chia cho m là r. Khi đó $ a=mq+r $.

Suy ra $ b=a-(a-b)=mq+r-mp=m(q-p)+r $. Do đó số dư của b khi chia cho m cũng bằng $r$.

Ví dụ 2. Bình phương của một số nguyên khi chia cho 3 được các số dư nào?

Lời giải

Cho số nguyên $a$. Khi $a$ chia cho 3 có các số dư là 0, 1, 2. Do đó $a$ có thể có dạng $3k, 3k+1, 3k+2$.

TH1: Nếu $a=3k$, suy ra $ a^2=9k^2 $ chia hết cho 3.

TH2: Nếu $a=3k+1$, suy ra $ a^2=9k^2+6k+1 $ chia 3 dư 1.

TH3: Nếu $a=3k+2$, suy ra $ a^2=9k^2-6k+1 $ chia 3 dư 1.

Vậy bình phương một số nguyên khi chia cho 3 thì số dư là 0 hoặc 1.\\

Dấu hiệu chia hết. 

Biểu diễn thập phân của số tự nhiên. Nếu số tự nhiên a có biểu diễn thập phân là $ A=\overline{a_1a_2…a_n} $ trong đó $ 1\leq a_1\leq 9, 0\leq a_i\leq 9 $ với $ i=2,3…,n $
Thì $ A=\overline{a_1a_2…a_n}=a_1.10^{n-1}+a_2.10^{n-2}+…+a_{n-1}.10+a_n $.

Định lý 5.

  • Một số chia hết cho 2, 5 nếu chữ số tận cùng chia hết cho 2,5.
  • Một số chia hết cho 4, 25 nếu số tạo bởi hai chữ só tận cùng chia hết cho 4.
  • Một số chia hết cho 8, 125 nếu số tạo bởi ba chữ só tận cùng chia hết cho 8 , 125.\\
Chứng minh

Cho số tự nhiên A, giả sử A có biểu diễn thập phân là $ A=\overline{a_1a_2…a_n} $

Ta có $ A=\overline{a_1a_2…a_n}=a_1.10^{n-1}+a_2.10^{n-2}+…+a_{n-1}.10+a_n $
\begin{enumerate}
\item [a)] Vì $ a_i.10^{n-i} \vdots 2 $ với i=1,2,…,n-1. Suy ra $ A\vdots 2 \Leftrightarrow a_n\vdots2 $

Tương tự ta cũng có $ A\vdots5 \Leftrightarrow a_n\vdots5 $

\item [b)] Vì $ a_i.10^{n-i} \vdots 4 $ với i=1,2,…,n-2. Suy ra $ A\vdots 4 \Leftrightarrow a_{n-1}.10+a_n\vdots 4 $ hay $ \overline{a_{n-1a_n}}\vdots 4 $. Tương tự ta cũng có $ A\vdots25 \Leftrightarrow \overline{a_{n-1}a_n}\vdots 25 $.
\item [c)] Tương tự như trên.

Định lý 6.

  • Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3.
  • Một số tự nhiên chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 9.
Chứng minh

a) Xét số tự nhiên $ A=\overline{a_1a_2…a_n}=a_1.10^{n-1}+a_2.10^{n-2}+…+a_{n-1}.10+a_n $

Khi đó $ A-(a_1+a_2+…+a_n)=a_1.(10^{n-1}-1)+a_2.(10^{n-2}-1)+…+a_{n-1}.(10-1)+a_n-a_n $

Ta có $ 10^i-1\vdots3, \forall i=\overline{1,n-1} $, suy ra $ A-(a_1+a_2+…+a_n)\vdots3 $

Do đó $ A\vdots3 \Leftrightarrow (a_1+a_2+…+a_n)\vdots3 $
Chứng minh tương tự cho câu b.

Ví dụ 3. Tìm các số $ A=\overline{3xy4} $ chia hết cho 36.

Lời giải. Ta có A chia hết cho 36 nên chia hết cho 4 và 9.

Do đó $ \overline{y4}\vdots 4\Rightarrow y=0,2,4,6,8 $

Và $ 3+x+y+4 $ chia hết cho 9 và $ 0\leq x +y\leq 18$, suy ra $ x+y=2,11. $

Lập bảng các trường hợp và tìm được các số thỏa đề bài: 3024, 3204, 3924, 3744, 3564, 3384.

Bài tập.

Nếu không có giả thiết gì thêm, ta xét các bài toán trong tập số nguyên.

Bài 1. Chứng minh nếu $ a>0, b>0, a\vdots b, b\vdots a $ thì $a=b$.

Bài 2. Chứng minh nếu $ a\vdots b, c\vdots d $ thì $ ac \vdots bd $

Bài 3. rong các khẳng định sau, cái nào đúng, cái nào sai (nếu đúng thì chứng minh, sai thì cho một ví dụ)
a) Nếu $ bc \vdots a $ thì $ b \vdots a $ hoặc $ c\vdots a $
b) Nếu $ (b+c)\vdots a $ thì $ b \vdots a $ hoặc $ c\vdots a $
c) Nếu $ b^2\vdots a^3 $ thì $ b\vdots a $
d) Nếu $ c\vdots a^2 $ và $ c\vdots b^2 $ và $ a^2\leq b^2 $ thì $ b\vdots a $.

Bài 4. Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
a) Trong $n$ số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho $n$.
b) Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, tích $n$ số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $n$.

Bài 5. Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (Số chẵn là số chia hết cho 2, số không chia hết cho 2 được gọi là số lẻ)

Bài 6. Chứng minh rằng nếu n lẻ thì $ n^2-1 $ chia hết cho 8.
Bài 7. Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng
a) $ a^n-b^n $ chia hết cho a-b với mọi số tự nhiên n.
b) $ a^n+b^n $ chia hết cho a+b với mọi số tự nhiên n lẻ.

Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $ 5^{2n}+7 $ chia hết cho 8.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $ 3^{2n+1}+2^{n+2} $ chia hết cho 7.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu $ a^2+b^2 $ chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3.
Bài 11. Cho n+1 số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng có hai số sao cho hiệu của chúng chia hết cho n.
Bài 12. Chứng minh rằng nếu $ \overline{abc} $ là bội của 37 thì $ \overline{bca} $ cũng là bội của 37.
Bài 13. Tìm các số x,y thỏa $ \overline{2x7y5} $ chia hết cho 75.
Bài 14. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên khi biểu diễn thập phân chỉ toàn chữ số 1 và chia hết cho 2011.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *