Phép vị tự là một trong những phép biến hình quan trọng nhất, có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học phẳng. Thông qua phép vị tự, ta có một công cụ giải toán khá mạnh, giúp chúng ta nhìn lại những bài toán cũ theo một cách khác, toàn diện và rõ ràng hơn. Ngoài ra, một số bổ đề suy ra trực tiếp hoặc chứng minh một cách dễ dàng bằng phép vị tự cũng giúp giải được những bài toán khó hơn. Qua bài viết nhỏ này, hy vọng các em học sinh có cơ hội nhìn lại các bài toán cũ và thêm một hướng để giải quyết các bài toán hình học phẳng.
I. LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số thực k khác 0 cho trước. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow{OM’} = k.\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm O hệ số(tỉ số) k và được kí hiệu là $H_{(O;k)}$.
Tính chất 2. Trong phép vị tự $H_{(O;k)}$ thì:
- Tâm O là điểm bất động duy nhất.
- $\overrightarrow {AB} \mapsto \overrightarrow {A’B’} $ thì $\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {A’B’} $
- Chùm đường thẳng qua tâm vị tự là những đường thẳng bất biến duy nhất.
- Một đường thẳng không qua tâm biến thành một đường thẳng song song với nó.
- Phép vị tự biến đường tròn $(I; R)$ thành đường tròn $(I; R’)$ thỏa $I’ = H_{(O;k)} (I)$ và $R’ = |k|/R$
Định lý 3. Cho hai đường tròn $C(O;R)$ và $C’(O’;R’)$ sao cho $R \ne R’,O \equiv O’$
Khi đó tồn tại hai phép vị tự $H_1(O_1;k_1)$ và $H_2(O_2;k_2)$ biến $(C )$ thành $(C‘)$ trong đó: $\dfrac{{\overline {{O_1}O} }}
{{\overline {{O_1}O’} }} = {k_1} = \dfrac{{R’}}{R}$ và $\dfrac{{\overline {{O_2}O} }}{{\overline {{O_2}O’} }} = {k_2} = – \dfrac{{R’}}{R}$
Hệ quả 4. Bốn điểm $O, O’, O_1, O_2$ tạo thành một hàng điểm điều hòa.
Hệ quả 5. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại tiếp điểm $A$. Khi đó có một phép vị tự tâm $A$ biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tính chất 6. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc trong tại $A$. Một dây cung $BC$ của $(O)$ tiếp xúc với $(I)$ tại $P$. Khi đó $AP$ đi qua điểm $D$ chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $DP.DA = DB^2$.
Chứng minh.
Xét phép vị tự $H(A): (I) \mapsto (O)$. Khi đó $P \mapsto D$. Suy ra $IP ||OD$ mà $IP \bot BD$. Suy ra $OD \bot BC$. Do đó $D$ là điểm chình giữa cung $BC$.
Định lý 7. (Tích của hai phép vị tự)Ta xét tích của hai phép vị tự $H_1(O_1;k_1)$ và $H_2(O_2;k_2)$:
- Trường hợp 1: Nếu $k_1k_2 = 1$ thì tích $H_2(O_2;k_2)oH_1(O_1;k_1)$ là một phép tịnh tiến theo Vectơ $\overrightarrow v = \left( {1 – {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} $
- Trường hợp 2: ${k_1}{k_2} \neq 1$ thì tích $H_2(O_2;k_2)oH_1(O_1;k_1)$ là một phép vị tự tỉ số $k = k_1k_2$ và có tâm O được xác định bởi công thức $\overrightarrow {OO_1} = \dfrac{{k_2 + 1}}{k_1k_2}\overrightarrow {OO_2} $
Định lý 8. (Monge – D’alambert) Cho ba đường tròn $C_1(O_1, R_1), C_2(O_2, R_2), C_3(O_3, R_3)$ phân biệt trên mặt phẳng. Khi đó tâm vị tự ngoài của các cặp đường tròn $(C_1, C_2), (C_2, C_3), (C_3, C_1)$ cùng thuộc một đường thẳng. Hai tâm vị tự trong của hai trong ba cặp đường tròn trên và tâm vị tự ngoài của cặp đường tròn còn lại cùng thuộc một đường thẳng.
Định lý 9. Nếu có một phép nghịch đảo tâm I biến $(O)$ thành $(O’)$ thì sẽ có một phép vị tự tâm $I$ biến $(O)$ thành $(O’)$.
II. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC$ và $AB$. Các đường phân giác trong $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $I$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $X, Y, Z$.
- (Đường thẳng Euler). Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ cùng nằm trên một đường thẳng.
- Gọi $da$ là đường thẳng qua $M$ và song song với phân giác góc $A$, $d_b, d_c$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng $d_a, d_b$ và $d_c$ đồng quy tại một điểm.
- Gọi $G, H, O$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đưởng tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
- Xét phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k = \dfrac{-1}{2}$. Khi đó $\Delta ABC \mapsto \Delta MNP$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $O$ là trực tâm tam giác $MNP$ nên $H \mapsto O$, suy ra $\overrightarrow{GO} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH}$.
- Vậy $ H,G, O$ theo thứ tự cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng Euler) và $GH = 2GO
$
2. Cũng sử dụng phép vị tự trên thì ta có $d_a, d_b, d_c $ song song với phân giác góc $A, B, $ nên $d_a, d_b, d_c$ là ảnh của phân giác các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ qua phép vị tự này. Do đó $d_a, d_b, d_c$ đồng quy.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $BC, AC$ và $AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $D’, E’, F’$là điểm đối xứng của $D, E, F$ qua $I$.
1. Chứng minh rằng $AD’, BE’$ và $CF’$ đồng quy $J$ .
2. Gọi G là trọng tâm tam giác. Chứng minh $I, J, G$ thẳng hàng và $GJ = 2GI$.
- Qua $D’$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $U, V$. Xét phép vị tự $H(A;\dfrac{AU}{AB}): \Delta AUV \mapsto \Delta ABC$. Biến đường tròn tâm $I$ thành đường tròn $I_a$ bàng tiếp tam giác $ABC$.
- Ta có $D’ \mapsto D_a$ là tiếp điểm của $(I_a)$ với $BC$.\\ Ta chứng minh được $BD = CD_a$. Chứng minh tương tự ta cũng có $CE = AE_a, BF = AF_a$. \\Mà các đường thẳng $AD, BE, CF$ đồng quy nên $AD_a, BE_a, CF_a$ đồng quy hay $AD’, BE’, CF’$ đồng quy tại $J$.
- Gọi $M$ là trung điểm $BC$ suy ra $M$ cũng là trung điểm của $DD_a$. Ta có $IM || D’D_a$.
- Xét phép vị tự $H'(G;\dfrac{-1}{2}): A \mapsto M$. Mà $IM ||AD’$, suy ra $H’: AD’ \mapsto IM$.
- Suy ra $J \mapsto I$. Do đó $G, I, J$ thẳng hàng và $GJ = 2GI$.
Ví dụ 3. (Chọn đội tuyển toán PTNK năm 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi $I,I_1,I_2,I_3$ là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp các góc A, B, C tương tứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_2 I_3$ cắt (O) tại hai điểm $M_1,N_1$. Gọi $J_1$ (khác A) là giao điểm của AI và (O). Ký hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $J_1$ và vuông góc với $M_1 N_1$. Tương tự xác định các đường thẳng $d_2,d_3$. Chứng minh các đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ đồng quy tại một điểm
- Dễ thấy đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn Euler của tam giác $I_1I_2I_3$, nên $J_1$ là trung điểm của $II_1$.
- Gọi $K_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_2I_3$, và $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $I_1I_2I_3$ ta có $\overrightarrow{KK_1} = \overrightarrow{I_1I}$.
- Suy ra $I_1K_1$ qua trung điểm của $IK$, mà $O$ là trung điểm $IK$ nên $I_1, O, K_1$ thẳng hàng. Mặt khác $OK_1 \bot M_1N_1$. Do đó $I_1K_1 \bot M_1N_1$, suy ra $I_1K_1 ||d_1$.
- Xét phép vị tự $H(I;2): J_1 \mapsto I_1$ mà $d_a ||I_1O$ nên $H: d_a \mapsto I_1K_1$. Tương tự $d_b \mapsto I_2K_2, d_c \mapsto I_3K_3$.Do đó $d_a, d_b, d_c$ đồng quy.
Pingback: Phép vị tự (Phần 2) | GeoSiRo