Xem phần 1 tại [Phần 1]
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I); đường tròn (I) tiếp xúc với $BC, AB, AC$ tại $D, E, F$. Vẽ $OH \bot EF$ và đường kính $AM$ của $(O)$. Chứng minh $H, I, M$ thẳng hàng.
- Xét phép vị tự ngoài tâm $P$ biến $(I)$ thành $(O)$. Khi đó $D \mapsto D’, E \mapsto E’, F \mapsto F’, H \mapsto H’$ với $D’, E’, F’$ là điểm chính giữa các cung $BC, AC, AB$.
- Ta có $D’H’ \bot E’F’$ và $H’$ là trung điểm của $AI$.
- Ta có $IH||OH’$. (1)
- Tam giác $AIM$ có $OH’$ là đường trung bình nên $IM||OH’$. (2)
- Từ (1) và (2) ta có $H, I, M$ thẳng hàng.
Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác. Đường tròn $w_a$ qua $B, C$ tiếp xúc trong với (I); các đường tròn $w_b, w_c$ được xác định tương tự. Gọi $A’$ là giao điểm của $w_b, w_c$ khác $A$; các điểm $B’, C’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy tại một điểm nằm trên $IO$, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
- Gọi $X$ là tiếp điểm của $w_a$ và $(I)$. Theo tính chất 1.5 thì $XD$ đi qua điểm chính giữa cung $BC$ của $w_a$, đặt là $A_1$. Các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự.
- Hơn nữa $A_1D.A_1X = A_1C^2$ và $B_1E.B_1Y = B_1C^2$, khi đó $B_1C_1$ là trục đẳng phương của $(I)$ và đường tròn điểm $C$, suy ra $IC \bot A_1B_1$.
- Mặt khác $IC \bot DE$, suy ra $DE||A_1B_1$.
- Ta có hai tam giác $DEF$ và $A_1B_1C_1$ đôi một có các cạnh song song nên có phép vị tự tâm $K$, biến $\Delta DEF$ thành $\Delta A_1B_1C_1$. Vì $K$ thuộc $DA_1$ nên $K \in XA_1$.
- Ta có $\dfrac{KD}{KA_1} = \dfrac{KE}{KB_1}$ mà $KX.KD = KY.KE$, suy ra $KX.KA_1 = KY.KB_1$; do đó $K$ thuộc trục đẳng phương của $w_a$ và $w_b$, vậy $K \in AA’$.
- Chứng minh tương tự ta cũng có $K \in BB’, CC’$.
- Xét phép vị tự tâm K thì $I \mapsto O’$; ta có vì $ID \bot BC$ nên $O’A_1 \bot BC$; tương tự thì $O’B_1 \bot AC$; do đó $O’ \equiv O$.
- Vậy $AA’, BB’, CC’$ đồng qui tại K thuộc IO.
Ví dụ 6. (Đường tròn mixtilinear incircle) Cho đường tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn $w_a$ tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D, E và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $A_1$. Các điểm $B_1, C_1$ được xác định tương tự.
1. Chứng minh rằng DE qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.
- Theo bổ đề 3.1 thì $A_1D$ qua điểm $D’$ chính giữa cung AB, $A_1E$ qua điểm $E’$ chính giữa cung AC. Khi đó $I \in CD’, I \in BE’$.
Áp dụng định lý Pascal ta có $D, I, E$ thẳng hàng. - Xét $H(A_1): (O) \mapsto (I_a), H(A): (I_a) \mapsto (I)$, theo định lý Monge D’lemabert thì $AA_1$ đi qua tâm vị tự ngoài biến $(O) \mapsto (I)$. Chứng minh tương tự ta cũng có $BB_1, CC_1$ qua tâm vị tự ngoài biến $(O)$ thành $(I)$.
Do đó các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy tại một điểm thuộc IO.
Ví dụ 7. (Định lý Thebault)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. $D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $w_1$ tiếp xúc với đoạn $AD, CD$ tại $P, Q$ và tiếp xúc với $w$ tại $W$.
1. Chứng minh $PQ$ qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
2. Gọi $w_2$ là đường tròn tiếp xúc với $AD, BD$ và tiếp xúc với $w$. Chứng minh đường thẳng nối tâm của $w_1, w_2$ qua tâm nội tiếp của tam giác $ABC$.
- Ta có $PE$ qua điểm $M$ chính giữa cung BC. Gọi $I’$ là giao điểm của $EF$ và $AM$.
Xét phép vị tự tâm P thì $EF||MN$, suy ra $\angle AIF = \angle AMN = \angle APF$. Suy ra $AFIP$ nội tiếp.
Khi đó $\angle AFP = \angle AI’P = \angle I’EP$.
Suy ra $\triangle MEI’ \backsim \triangle MI’P$. Suy ra $MI’^2 = ME.MP = MB^2$.
Do đó $I’ \equiv I$. - Xét tứ giác $JGEK$ và điểm $D$ thuộc $GE$. Khi đó $IG||DK$ và $IE||DJ$.
Gọi $I’$ là giao điểm của $GI$ và $JK$. Khi đó $\dfrac{JI’}{I’K} = \dfrac{JT}{TD} = \dfrac{EQ}{EK}$. Suy ra $I’E||JQ$, do đó $I’ \equiv I$.
Vậy $J, I, K$ thẳng hàng.
Ví dụ 8. (IMO 1999) Cho hai đường tròn $(w_1)$ và $(w_2)$ tiếp xúc trong với$ ( w) $tại M, N và tâm của đường tròn $(w_2)$ nằm trên đường tròn $(w_1)$. Dây cung chung của $(w_1)$ và $(w_2)$cắt $(w )$ tại A và B. MA và MB cắt $(w_1)$ tại C và D. Chứng minh rằng đường tròn $(w_2)$ tiếp xúc với đường thẳng $CD$.
- Vẽ tiếp tuyến chung $XY$ của $w_1, w_2$ với $X, Y$ là các tiếp điểm, giả sử $XY$ cắt $w$ tại $S,T$. Gọi $A’$ là điểm chính giữa cung $ST$.
- Theo bổ đề 3.1 ta có $A’, X, M$ và $A’, Y, N$ thẳng hàng. Ta có $A’Y.A’N = AS^2 = A’X.A’M$. Suy ra $A’$ thuộc trục đẳng phương của $w_1, w_2$. Suy ra $A’ \in PQ$.
- Vậy $A’ \equiv A$ và $X \equiv C, Y \equiv E$. Gọi $U$ là giao điểm của $CE$ và $O_1O_2$. Suy ra $\dfrac{UO_2}{UO_1} = \dfrac{r_2}{r_1}$.
- Ta có $CD || PQ$, suy ra $CD \bot O_1O_2$. Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $O_1O_2$. Ta tính được $O_2H = r_2$ nên $CD$ tiếp xúc với $w_2$.
Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O, đường tròn tâm I nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $DEF$ thuộc đường thẳng $IO$.
- Xét phép nghịch đảo tâm I, tỉ số $r^2$, biến $M \mapsto A, N \mapsto C, P \mapsto B$. Khi đó $(MNP) \mapsto (ABC)$. Khi đó có phép vị tự tâm I biến $(MNP) \mapsto (ABC)$.
- Gọi $F$ là tâm của $(MNP)$ ta có $I, F, O$ thẳng hàng.
- Mặt khác $(MNP)$ là đường tròn euler của tam giác $DEF$ nên $F, I, H$ thẳng hàng, với $H$ là trực tâm tam giác DEF.
- Vậy $H, I, O$ thẳng hàng.
Ví dụ 10. (Barasil MO 2013) Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Gọi $X, Y, Z$ là các điểm đối xứng của $P$ qua $EF, DF$ và $DE$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy tại một điểm thuộc đường thẳng $OI$, với $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$.
- Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$, tương tự với $L, J$.
Gọi $T$ là giao điểm của $AD$ và $EF$, ta có $(AIDT) = -1$ và $DK \bot KT$ nên $KT$ là phân giác của $\angle AKD$. Do đó $X$ thuộc $AK$. - Ta có $\angle FKJ = \angle FDE = \angle AFE$, suy ra $KJ||AB$; tương tự ta có $\angle KL||AC; LJ||BC$. Khi đó tồn tại phép vị tự tâm $V_(H): \Delta KJL \mapsto ABC$ và $F \mapsto O$, với $F$ là tâm đường tròn euler của tam giác $DEF$ và $H$ là giao điểm của $AK, BJ, CL$.
- Mặt khác theo ví dụ 1.9 thì $F, I, O$ thẳng hàng. Do đó $H, I, O$ thẳng hàng.
- Vậy $AX, BY, CZ$ đồng quy tại điểm $H$ thuộc đường thẳng $IO$.
III. BÀI TẬP
- Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc nhau tại $M$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O_2)$, từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O_1)$ với $B, C$ là hai tiếp điểm. $BM, CM$ lần lượt cắt $(O_2)$ tại $D$ và $E$. $DE$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O_2)$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ thuộc một đường thẳng cố định khi $A$ di chuyển trên $(O_2)$ không thẳng hàng với $O_1$ và $M$.
- Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $P$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$; $M$ là trung điểm của $DP$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $IBC$. Chứng minh rằng $MH$ qua trung điểm của $EF$.
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $D$ là một điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn $w$ tiếp xúc với các đoạn $AD, CD$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $E, F, X$. Chứng minh rằng $XF$ đi qua một điểm cố định và $EF$ cũng đi qua một điểm cố định.
- Cho tam giác nhọn $ABC$ khác tam giác cân. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $BC, CA $ và $AB$. Gọi $P$ là giao điểm của $AI$ và $OD$, $Q$ là giao điểm của $BI$ và $OE$, và $R$ là giao điểm của $CI$ và $OF$. Gọi $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $I, M, O$ thẳng hàng.
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm O, có $B, C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn thay qua $A, B$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $E$. Gọi $(O_2)$ là đường tròn thay qua $A, C$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $F$. Đường phân giác trong của góc $\widehat{AEB}$ cắt $(O_1)$ tại $M$ và đường phân giác trong của góc $\widehat{AFC}$ cắt $(O_2)$ tại $N$.
a.Chứng minh rằng tứ giác $EFMN$ nội tiếp.
b. Gọi $J$ là giao điểm của $EM$ và $FN$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ đi qua một điểm cố định. - (ELMO shortlist 2011)
Cho 3 đường tròn $\omega,\omega_1,\omega_2$ đôi một tiếp xúc nhau sao cho $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc ngoài tại $P$, $\omega_1,\omega$ tiếp xúc trong tại $A$, and $\omega,\omega_2$ tiếp xúc trong tại $B$. Gọi $O,O_1,O_2$ lần lượt là tâm của $\omega,\omega_1,\omega_2$. Gọi $X$ chân đường vuông góc từ $P$ đến $AB$, chứng minh $\angle{O_1XP}=\angle{O_2XP}$. - Cho tam giác $ABC$ khác tam giác vuông nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định có $BC$ cố định và $A$ thay đổi. Trên đường thẳng $BC$ lấy các điểm $K, L$ sao cho $\angle BAK = \angle CAL = 90^o$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Chứng minh rằng đường thẳng qua trung điểm của $AH$ và $KL$ luôn đi qua một điểm cố định.
- (IMO shortlist 1998) Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua BC, B qua CA và của C qua AB. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi OH = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- (USA TST 2010) Cho tam giác $ABC$. Điểm M,N trên các cạnh AC và BC sao cho $MN||AB$; Các điểm $P, Q$ lần lượt thuộc $AB, BC$ sao cho $PQ ||AC$. Đường tròn nội tiếp tam giác $CMN$ tiếp xúc với AC tại E; đường tròn nội tiếp tam giác $BPQ$ tiếp xúc với $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EN$ cắt $AB$ tại $R$; đường thẳng $FQ$ cắt AC tại S. Cho $AE = AF$, chứng minh rằng tâm nội tiếp của tam giác $AEF$ thuộc đường tròn nội tiếp của tam giác $ARS$.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn mitilinear incircle của tam giác ABC tâm K tiếp xúc với (O) tại D. DI cắt BC tại L. Chứng minh KL chia OI theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$.
- (IMO 2008) Cho tứ giác lồi ABCD (AB khác BC). Gọi đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC và ADC lần lượt là $(w_1)$ và $(w_2)$. Giả sử tồn tại đường tròn $(w )$ tiếp xúc với tia BA về hướng A và tia BC về hướng C và tiếp xúc với các đường thẳng AD và CD. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn $(w_1)$ và $(w_2)$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (C ).
Pingback: Phép vị tự (Phần 1) | GeoSiRo