Ta tiếp tục với phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, nay ta sẽ bàn tới phương pháp sử dụng đồng dư, chú ý một số cách tiếp cận sau:
- Sử dụng đồng dư để chứng minh phương trình vô nghiệm.
- Sử dụng đồng dư để suy ra tính chất của biến (tính chẵn lẻ, …), đưa về các dạng đã biết.
Ví dụ 1. Giải phương trình $ x^3 +21y^3+5=0 $.
Lời giải
- Ta có với mọi $x$ thì
$ x^3\equiv 0, 1, -1\ (\mod 7) \Rightarrow x^3 +21y^2+5\equiv 5,6,4\ (\mod 7) $
- Do đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình trong tập số tự nhiên: $6^x = y^2+y-2 $.
Lời giải
- Với mọi số nguyên x thì $ 6^x \equiv 1\ (mod\ 5) $.
- Mặt khác, $ y^2+y-2 = (y-1)(y+2) \equiv 0,3,4\ (mod\ 5) \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$7^x – 9^y = 4$$
Lời giải
- Ta có $9^y \equiv 1 (\mod 4)$ suy ra $7^x \equiv 2 (\mod 4)$ suy ra $x$ chẵn. $x = 2k$.
- Ta có $7^{2k} – 3^{2y} = 4 \Leftrightarrow (7^k-2)(7^k+2) = 3^{2y}$.
- Dễ thấy $(7^k-2, 7^k+2) = 1$ suy ra $7^k-2 = 1, 7^k+2 = 3^{2y}$ vô nghiệm.
Ví dụ 4. Tìm $x, y, z$ nguyên dương và $z \geq 2$ thỏa $3^x + 5^x = y^z$.
Lời giải
- Nếu $x = 1$ ta có $y^z = 8$ thì $y = 2, z=3$.
- Nếu $x$ chẵn. $3^x + 5^x \equiv 2( \mod 4)$, suy ra $y$ chẵn và $y^z \equiv 2(\mod 4)$, suy ra $z = 1$. (vô lý).
- Nếu $x$ lẻ, $x > 1$. Khi đó $LHS=3^x + 5^x = (3+5)(3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1})$.
- Ta có $3^{x-1}-3^{x-2}\cdot 5 +\cdots +5^{x-1}$ có $x$ số hạng lẻ, nên tổng là lẻ. Do đó $LHS$ chia hết cho 8, nhưng ko chia hết cho 16, kết hợp $z > 1$ ta được $z=3$.
- $3^x + 5^x = y^3$. $5^6 \equiv 1 (\mod 9)$, suy ra $5^x \equiv 5 (\mod 9)$ nếu $x \equiv 1 (\mod 6)$; $5^x \equiv -1 (\mod 9)$ khi $x \equiv 3 (\mod 6)$; $5^x \equiv 7 (\mod 9)$ khi $x \equiv 5(\mod 6)$.
- Mặt khác $y^3 \equiv 0, 1, -1 (\mod 9)$. Do đó $x \equiv 3 (\mod 6)$.
- Lại có $3^x + 5^x \equiv 5 (\mod 7)$ khi $x \equiv 3 (\mod 6)$.
Do đó phương trình vô nghiệm.
- Kết luận $(1,2,3)$.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) $2^x-3^y=1$;
b) $2^x-3^y=7$;
c) $2^x+3^y=z^2$;
d) $3^x+4^y=5^z$;
e) $3^x+4^y=7^z$.
Bài 2. (PTNK 2013) Cho $M = a^2 + 3a + 1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5?
Bài 3. (PTNK 2009)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho ${a^2} + a = {2010^{2009}}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $a + {a^2} + {a^3} = {2009^{2010}}$
Like this:
Like Loading...