Rút gọn biến đổi căn thức chứa biến và các bài toán liên quan

Leave a reply

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

$P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Giải

a) $P=\left( \dfrac {2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac {3x+3}{x-9}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1\right) $

$P=\dfrac {2\sqrt x\left( \sqrt x-3\right) +\sqrt x\left( \sqrt x+3\right) -3x-3}{\left( \sqrt x-3\right) \left( \sqrt x+3\right) }:\dfrac {2\sqrt x-2-\sqrt x+3}{\sqrt x-3}$

$P=\dfrac {-3\sqrt x-3}{\left( \sqrt x+3\right) \left( \sqrt x-3\right) }.\dfrac {\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$

$P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $P=\dfrac {-3}{\sqrt x+1}\ge -3$, $\forall x\ge 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-3$  khi $x=0$

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

$M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $ ($x>0$, $x\ne 4$)

a) Rút gọn $M$.

b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Giải

a) $M=\left( \dfrac {\sqrt x}{\sqrt x+2}-\dfrac {x+4}{x-4}\right) :\left( \dfrac {2\sqrt x-1}{x-2\sqrt x}-\dfrac {1}{\sqrt x}\right) $

$M=\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) -x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }:\dfrac {2\sqrt x-1-\sqrt x+2}{\sqrt x\left( \sqrt x-2\right)} $

$M=\dfrac {-2\sqrt x-4}{\left( \sqrt x+2\right) \left( \sqrt x-2\right) }.\dfrac {\sqrt x\left( \sqrt x-2\right) }{\sqrt x+1}$

$M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}$

b) Ta có: $M=\dfrac {-2\sqrt x}{\sqrt x+1}=\dfrac {-2\left( \sqrt x+1\right) +2}{\sqrt x+1}=-2+\dfrac {2}{\sqrt x+1}$

$M$ nhận giá trị nguyên khi $\left( \sqrt x+1\right)  \in \{1;2\}$ ($x>0$, $ x\in \mathbb{Z}$)

Với  $\sqrt x+1=1 \Leftrightarrow x=0$  $(l)$

Với  $\sqrt x+1=2 \Leftrightarrow x=1$  $(n)$

Vậy với $x=1$ thì $M$ nhận giá trị nguyên là $-1$

Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\dfrac {2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\dfrac {2\left( x-1\right) }{\sqrt x-1}$

Rút gọn $P$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 2: Cho biểu thức:

$A=\dfrac {15\sqrt x-11}{x+2\sqrt x-3}-\dfrac {3\sqrt x-2}{\sqrt x-1}-\dfrac {2\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$

Rút gọn $A$ và tìm giá trị lớn nhất của $A$.

Bài 3: Cho biểu thức:

$P=\dfrac {1}{\sqrt x-1}-\dfrac {x\sqrt x-\sqrt x}{x+1}\left( \dfrac {1}{x-2\sqrt x+1}+\dfrac {1}{1-x}\right) $

a) Rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ để $P=-\dfrac {2}{5}$.

b) Tìm $x$ nguyên để $\sqrt x$, $\dfrac {1}{P}$ cũng là số nguyên.

Bài 4:  Cho biểu thức:

$A=\left( \dfrac {1}{x+\sqrt x}-\dfrac {2-\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) :\left( \dfrac {1}{x}+x-2\right) $

Rút gọn biểu thức $A$. Tìm số chính phương $x$ để $3A$ là số nguyên.

Bài 5:  Cho biểu thức:

$A=\dfrac {7}{\sqrt x+8}$ và $B=\dfrac {\sqrt x}{\sqrt x-3}+\dfrac {2\sqrt x-24}{x-9}$ với $x\ge 0$, $x\ne 9$

a) Chứng minh $B=\dfrac {\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$.

b) Tìm $x$ để biểu thức $P=A.B$ có giá trị là số nguyên$.

Bài 6:  Cho biểu thức:

$M=\left( 2+\dfrac {x+\sqrt x}{\sqrt x+1}\right) \left( 1-2\sqrt x-x+\dfrac {1-x\sqrt x}{1-\sqrt x}\right) $

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa. Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac {2}{M}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

$T=\dfrac {2\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt {ab} +2\sqrt a-\sqrt b-2}-\dfrac {2-\sqrt {ab}}{\sqrt {ab}+2\sqrt a+\sqrt b+2}$

với $a, b\ge 0$, $a\ne 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $T$ khi $a$ là số tự nhiên khác $1$.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *