Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8 – \sqrt {48} – 2\sqrt {\dfrac{4}{3}} + 4\sqrt {\dfrac{9}{2}} $.

b) $10\sqrt {28a} + 2\sqrt {175a} – 3\sqrt {343a} + \sqrt {112a} $ với $a \ge 0$.

c) $\sqrt {20 + 2\sqrt {19} }  – \sqrt {30 + 2\sqrt {29} } $.

d) $\sqrt {17 – 4\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } } $.

e) $\sqrt {6 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } $

Bài tập :

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt {24} – 2\sqrt {54} + 3\sqrt 6 – \sqrt {150} $.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $10\sqrt {72} – \dfrac{5}{3}\sqrt {162} + \sqrt {128} – 2\sqrt {50} + \sqrt {98} $.

d) $5\sqrt {12} – 2\sqrt {48} + 6\sqrt {75} – \sqrt {108} $.

e) $\dfrac{3}{2}\sqrt {12} + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} – \dfrac{9}{{10}}\sqrt {300} + \dfrac{{11}}{6}\sqrt {108} $.

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {31 – 8\sqrt {15} } + \sqrt {24 – 6\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {49 – 5\sqrt {96} } – \sqrt {49 + 5\sqrt {96} } $.

c) $\sqrt {15 – 6\sqrt 7 } + \sqrt {43 – 12\sqrt 7 } $.

d) $\sqrt {8 – 2\sqrt {15} } – \sqrt {23 – 4\sqrt {15} } $.

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {10 + 2\sqrt 6 + 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } $.

c) $\sqrt {18 – 4\sqrt 6 – 8\sqrt 3 + 4\sqrt 2 } $.

d) $\sqrt {8 + \sqrt 8 + \sqrt {20} + \sqrt {40} } $.

e) $\sqrt {25 – 4\sqrt {10} – 4\sqrt {15} + 2\sqrt 6 } $.

Bài 4: Cho $x=\sqrt{3}-1$

a) Tính: $x^3-3x^2+x-1 $.

b) Chứng minh: $x^2+2x-2=0 $.

c) Tính: $P=\left( x^3+2x^2-x+1\right)^{2020} $.

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt {a+b+c-2\sqrt {ac+bc}} $.

b) $\sqrt {a+b+9c+6\sqrt {ac+bc}}+\sqrt {a+b+9c-6\sqrt {ac+bc}} $.

c) $\sqrt {a-b+4c+4\sqrt {ac-bc}}+\sqrt {a-b+4c-4\sqrt {ac-bc}} $.