Trong các bài toán liên quan đến ứng dụng của định lý Viete, bài toán tìm giá trị tham số $m$ để các nghiệm thỏa mãn một đẳng thức là dạng toán thường gặp.
Nếu biểu thức mà vai trò hai nghiệm là như nhau, ta có thể biểu diễn theo tổng và tích. Trong bài này chúng ta xét các bài toán mà biểu thức không phải là các biểu thức đối xứng, đòi hỏi cách xử lí khó hơn một chút. Ta bắt đầu với ví dụ sau:
Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 4x – m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 + 4x_2 =-19$
Lời giải
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta’ = 4 + m > 0 \Leftrightarrow m > -4$ (1).
Khi đó, theo định lý Viete ta có: $x_1 + x_2 = -4, x_1x_2=-m$.
Từ $x_1+x_2=-4$ với giả thiết $x_1+4x_2 = -19$, giải ra được $x_2=-5$.
Thế $x_2=-5$ vào phương trình ta có:$(-5)^2+4(-5)-m = 0 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa (1)).
Kết luận: $m=5$.
Ta thấy rằng để làm dạng toán này, có các bước giải sau:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hai nghiệm phân biệt,….)
- Áp dụng định lý Viete và giả thiết để tính nghiệm (có thể theo tham số)
- Thay nghiệm vào phương trình và giải. (So lại điều kiện để nhận loại phù hợp). (Hoặc tính $x_1$ và thế vào biểu thức Viete).
Ví dụ 2. Cho phương trình $x^2 -x +3m-11=0$ $(1)$
a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó.
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho:
$2017x_1 + 2018x_2 =2019$
Lời giải
a) Phương trình $(1)$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1\ne 0 \text{ (hiển nhiên)} \\\\
\Delta = 0
\end{array} \right. \\\\ \Leftrightarrow 1-4(3m-11) =0 \Leftrightarrow 45-12m =0 \Leftrightarrow m=\dfrac{45}{12}$
Với $m=\dfrac{45}{12}$ thì phương trình $(1)$ trở thành:
$x^2-x+\dfrac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
Vậy khi $m=\dfrac{45}{12}$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}$.
b) Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thì
$\Delta >0 \Leftrightarrow 45-12m >0 \Leftrightarrow m < \dfrac{45}{12}$
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
S=x_1+x_2 = 1 \\\\
P=x_1x_2=3m-11
\end{array} \right. $
$2017x_1+2018x_2=2019 \Leftrightarrow 2017 \left( x_1 + x_2 \right) +x_2 =2019
\Leftrightarrow 2017+x_2=2019 \Leftrightarrow x_2 = 2$
Mà $x_1+x_2 =1$ nên $x_1=-1$
Lại có $x_1x_2 = 3m-11 \Rightarrow 3m-11 = -2 \Rightarrow m=3$ (thỏa)
Vậy $m=3$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +3m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – 2x_2 = 1$.
Lời giải
Ta có $\Delta’ = (m+1)^2 – 3m = (m-1/2)^2 + 3/4 > 0$ với mọi $m$, nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó ta có $x_1+ x_2 = 2m+2, x_1x_2 = 3m=0$.
Kết hợp $x_1-2x_2 = 1$, suy ra $x_2 = \dfrac{2m+1}{3}$.
Thế $x_2 = \dfrac{2m+1}{3}$ vào pt ta có:
$\dfrac{(2m+1)^2}{9} – 2(m+1)\dfrac{2m+1}{3} + 3m = 0$, giải ra được $m = 1, m= \dfrac{5}{8}$.
Kết luận. $m = 1$ và $m = \dfrac{5}{8}$.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-2mx + 3m-2}{x-1} =0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 + 3x_2 = 8$.
Lời giải
Điều kiện $x \neq 1$. Phương trình tương đương với
$x^2-2mx + 3m-2 =0$. (2)
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1,
$\Delta’ = m^2-3m+2 > 0, 1^2-2m(1)+3m -2 \neq 0$ (*).
Khi đó $x_1+x_2 = 2m, x_1x_2 = 3m-2$.
Từ $x_1+3x_2 = 8$ ta có $x_2 = 4-m$, thế vào (2) ta có:
$(4-m)^2 -2m(4-m) + 3m-2 = 0 \Leftrightarrow m = 2, m = \dfrac{7}{3}$.
So với (*), ta nhận $m = \dfrac{7}{3}$.
Kết luận: $m = \dfrac{7}{3}$.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +3m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – 2x_2 = 1$
Bài 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 3x + m-27=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1 – x_2 = 11m$.
Bài 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2(m-1)x + m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2x_2 = -m-1$.
Bài 4. Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. \
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.
Bài 5. Cho phương trình: $9x^2-3\left( m+2\right) x+m-7=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ phân biệt thỏa: $x_1+\dfrac{7}{5}x_2=2$.
