Lý Ngọc Vy – Giáo viên Star Education

Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots,$ được gọi là cấp số cộng nếu lấy số hạng thứ hai trừ số hạng đứng trước nó bằng một số $c$ không đổi, nghĩa là $a_{n+1}-a_n=c$ với $n=1,2,3, \ldots$. Số $c$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Từ đó, ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng sau:
$$
a_n=a_1+(n-1) c
$$

Ví dụ 1 Cho tập hợp các số tự nhiên
$$
1,2,3,4,5, \ldots,
$$
là một cấp số cộng với công sai $c=1$.
Cho tập hợp các số chẵn
$$
2,4,6,8,10,12, \ldots
$$
là một cấp số cộng với $c=2$ không đổi.
Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Carl Fried Gauss (1777-1855) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Tên ông ấy xuất hiện ở mọi lĩnh vực toán học. Chuyện kể rằng, lúc Gauss 7 tuổi, ông đã khám phá ra cách tính nhanh tổng các số từ 1 đến 100 .

Phương pháp tính của Gauss như sau: $S=1+2+3+\ldots+98+99+100$.
Đảo thứ tự các số, ta có: $S=100+99+98+\ldots+3+2+1$.
$$
\text { Vì } 1+100=2+99=3+98=\ldots=98+3=99+2=100+1=101 \text {. }
$$

Khi có, $2 S=100 \times 101$.
Vậy $S=5050$.

Ta áp dụng phương pháp này cho cấp số cộng.
Giả sử, cho cấp số cộng như sau:
$$
a_1, a_2, a_3, . ., a_n
$$

Ta có:
$S =a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n . $
$S =a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1 .$

Vì $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots=a_{n-1}+a_2=a_n+a_1$. Khi đó, $2 S=n \times\left(a_1+a_n\right)$.
Vậy
$$
S=a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum_{i=1}^n a_i=\dfrac{\left(a_1+a_n\right) \cdot n}{2} .
$$
$\sum$ : Tổng của 1 phép toán nhiều hạng tử.
Ví dụ 2: [AMC8.2015.9] Ngày đầu tiên đi làm, Janabel bán được 1 sản phẩm. Ngày thứ 2, cô ấy bán được 3 sản phẩm. Ngày thứ 3 , cô ây bán được 5 sản phẩm và những ngày tiếp theo cô ấy bán được nhiều hơn ngày trước đó 2 sản phẩm. Trong 20 ngày, Janabel bán được tất cả bao nhiêu sản phẩm?

Lời giải.
Biểu diễn $a_n$ là số sản phẩm Janabel bán được ở ngày thứ $n$. Theo giả thuyết, dãy số sau là dãy cấp số cộng với $a_1=1$ và công sai $c=2$
1
$$
1,3,5,7, \ldots
$$

Từ (1) và (2), suy ra ngày thứ 20 , cô ấy đã bán được số sản phẩm $a_{20}=a_1+2 \times 19=39$. Số sản phẩm cố ấy bán được trong 20 ngày là $S=\frac{(1+39) \times 20}{2}=400$.
Ví dụ 3: [AMC10A.2011.4] Cho $X$ và $Y$ là tổng của cấp số cộng như sau:
$X=10+12+14+\ldots+100$
$Y=12+14+16+\ldots+102 .$

Tính $Y-X$ ?
Lời giải.
Cách 1: $X$ và $Y$ là tổng của cấp số cộng có 46 số hạng. Dùng công thức (2), ta tính được $X$ và $Y$.

Cách 2: $Y-X=(12-10)+(14-12)+\ldots+(102-100)=2 \times 46=92$.
Cách 3:

Cách 3:
$$
\begin{aligned}
& X=10+12+14+\ldots+100 \
& Y=\quad 12+14+\ldots+100+102 .
\end{aligned}
$$

Khi lấy $Y-X$, các số hạng từ 12 dến 100 sẽ triệt tiêu cho nhau nên $Y-X=102-10=92$
Ví dụ 4: [AMC10.2001.11] Xét hình vuông tối màu trong một mảng các hình vuông đơn vị được biểu thị như hình dưới. Vòng thứ nhất bao quanh hình vuông trung tâm gồm 8 hình vuông đơn vị. Vòng thứ hai gồm 16 hình vuông đơn vị. Cứ tiếp tục như thế thì đến vòng thứ 100 sẽ có bao nhiêu hình vuông đơn vị?

Lời giải.
Gọi $a_n$ là số hình vuông đơn vị ở vòng thứ $n$.
Khi đó, dãy số
$$
8,16,24, \ldots
$$
là một cấp số cộng với công sai
$$
c=8
$$

Từ (1), ta tính được $a_{100}=a_1+99 \times 8=800$.

Ví dụ 5. Cho dãy số $1 ; 4 ; 7 ; \ldots$ là một cấp số cộng với công sai là 3 .
(a) Tìm số hạng thứ 10.
(b) Tìm số hạng thứ 2023.
(c) Tính tổng 10 số hạng đầu.
(d) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
(e) Tính tổng các số hạng từ số hạng 11 đến số hạng 100 .

Lời giải.
$$
u_1=1 ; d=3 \text {. }
$$
(a) $u_{10}=u_1+(10-1) d=1+9.3=28$.
(b) $u_{2023}=u_1+(2023-1) d=1+2022.3=6067$.
(c) $S_{10}=\frac{\left(u_{10}+u_1\right) \cdot 10}{2}=\frac{(28+1) \cdot 10}{2}=145$.
(d) $S_{100}=\frac{\left(u_{100}+u_1\right) \cdot 100}{2}=\frac{(298+1) \cdot 100}{2}=14950$.
(e) $u_{11}+\ldots+u_{100}=S_{100}-S_{10}=14950-145=14805$.

Ví dụ 6. (Số tam giác) Ta gọi tổng của $n$ số nguyên dương đầu tiên là một số tam giác (thứ $n$ ). Ví dụ 10 là một số tam giác thứ tư vì $10=1+2+3+4$.
1
(a) Liệt kê 10 số tam giác đầu tiên.
(b) Số 200 có phải là một số tam giác không? Tại sao?
(c) Tính tổng của hai số tam giác thứ 11 và 12 .
(d) Có nhận xét gì về tổng hai số tam giác liên tiếp, chứng minh nhận xét đó.
(e) Ngoài số 1, có số tam giác nà là bình phương của một số nguyên dương không? Tìm một số như thế.

Lời giải

(a) 10 số tam giác đầu tiên: ${1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 55}$.
(b) $200=S_n=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] \cdot n}{2} \Rightarrow 200=\frac{[2+(n-1)] n}{2} \Rightarrow n^2-n-398=0$.
Ta thấy, $n \approx 20,46$ không là số nguyên dương.
Vậy 200 không là một số tam giác.
(c) $S_{11}+S_{12}=\frac{(11+1) \cdot 11}{2}+\frac{(12+1) \cdot 12}{2}=144$.
(d) Tổng hai số tam giác liên tiếp: ${4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; \ldots} . \Rightarrow$ Tổng hai số tam giác liên tiếp luôn là số chính phương.
$ S_n+S_{n+1}=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] n}{2}+\frac{\left(2 u_1+n d\right)(n+1)}{2}=\frac{4 u_1 n+2 u_1+2 n^2 d}{2}=n^2+2 n+1
$ =(n+1)^2 $
(e) $x^2=S_n \Rightarrow x^2=\frac{\left[2 u_1+(n-1) d\right] n}{2} \Rightarrow x^2=\frac{n^2+n}{2}$.
Ta thấy, số tam giác thứ 8 là bình phương của một số nguyên dương là 36 .

Ví dụ 7. Cho các tập sau: $S_1={1}, S_2={2,3}, S_3={4,5,6}, \ldots$
(a) Tính tổng các số của $S_5, S_6$.
(b) Tìm số lớn nhất của $S_{100}$.
(c) Tính tổng các số của $S_{100}$.
(d) Số 2023 thuộc tập nào?
(e) Đặt $m_1, m_2, \ldots$ lần lượt là số lớn nhất trong các tập $S_1, S_2, \ldots$, . Ví dụ $m_1=1, m_2=3, m_3=6$. Có nhận xét gì về $m_1, m_2, \ldots$, . Có số nào trong dãy có giá trị bằng 210 không? Tại sao?

Lời giải.
Gọi $A_n={1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; n}$.
Số nhỏ nhất trong tập $S_n=K_n-(n-1)$ với $K_n$ là tổng $n$ số đầu tiên trong dãy $A_n$. Số lớn nhất trong tập $S_n=K_n$ với $K_n$ là tổng $n$ số đầu tiên trong dãy $A_n$.
(a) Số nhỏ nhất trong tập $S_5=K_5-4=\frac{(5+1) .5}{2}-4=11$.
Số lớn nhất trong tập $S_5=K_5=15$.
Tổng các số của $S_5=\frac{(15+11) \cdot 5}{2}=65$.
Số nhỏ nhất trong tập $S_6=16$.
Số lớn nhất trong tập $S_6=21$.
Tổng các số của $S_6=\frac{(16+21) \cdot 6}{2}=111$.

Số lớn nhất trong tập $S_6=21$.
Tổng các số của $S_6=\frac{(16+21) \cdot 6}{2}=111$.
(b) Số lớn nhất của $S_{100}=K_{100}=\frac{(100+1) \cdot 100}{2}=5050$.
(c) Số nhỏ nhất của $S_n<2023<$ Số lớn nhất của $S_n$

Ta có $K_n-(n-1)<20234046$, suy ra 63,11<n<64,09\right. \
Vậy $n=64$, do đó $2023 \in S_{64} $
(d) $m_1 ; m_2 ; \ldots$ là tổng $n$ số đầu tiên của $A_n$.
$210=\frac{(1+n) \cdot n}{2} \Rightarrow n^2+n-420=0 \Rightarrow n=20$ là số nguyên dương.
Vậy $m_{20}$ là số lớn nhất trong tập có giá trị bằng 210.

Ví dụ 8. Bạn Bảo Huy có một kế hoạch học tập vào tháng 5 (31 ngày) đối với môn toán như sau: giai đoạn khởi động 15 ngày đầu, mỗi ngày Huy làm 4 bài toán, giai đoạn tăng tốc kể từ ngày 16 thì Huy mỗi ngày Huy làm nhiều hơn ngày trước đó một số bài không đổi, sau khi tăng tốc làm bài đến về đích, Huy làm mỗi ngày giảm 10 bài so với ngày trước đó và nghỉ hẳn, không làm toán vào ngày cuối cùng. Sau khi thực hiện theo kế hoạch thì Huy thấy mình làm được là 402 bài toán trong tháng năm. Hỏi ngày Huy làm được nhiều nhất là bao nhiêu bài toán?

Lời giải.

Giai đoạn khởi động: Tổng số bài bạn Bảo Huy làm trong 15 ngày là $4.15=60$ bài.

Giai đoạn tăng tốc: Số bài bạn Bảo Huy làm từ ngày 16 là
$ u_{16}=4+d, u_{17}=4+2 d, u_{18}=4+3 d, \ldots $
$\Rightarrow u_{16+n}=4+(n+1) d $

Giai đoạn về đích:
$$
u_{16+n+1}=4+(n+1) d-10, u_{16+n+2}=4+(n+1) d-2.10, \ldots
$$

Ngày 30: $u_{16+n+m-1}=4+(n+1) d-(m-1) .10$.

Ngày $31: u_{16+n+m}=4+(n+1) d-m .10$ với $16+n+m=31 \Rightarrow m=15-n$ và $n, m$ là các số nguyên dương.

Vì bạn Bảo Huy không làm toán vào ngày cuối cùng nên

$4+(n+1) d-10 m=0 \Rightarrow 4+(n+1) d-10(15-n)=0 \Rightarrow d=\frac{146-10 n}{n+1} $

Bạn Bảo Huy làm được 402 bài toán trong tháng năm nên

Giai đoạn khởi động + Giai đoạn tăng tốc + Giai đoạn về đích (dến ngày 30)=402
$\Rightarrow 60+\dfrac{4+(n+1) d+(4+d)}{2}+\dfrac{4+(n+1) d-10(14-n)+4+(n+1) d-10}{2}=402 $
$\Rightarrow-n^2 d-10 n^2+29 n d+290 n+30 d=2664 .

Mà $ d=\frac{146-10 n}{n+1}$
Khi đó, $n=11$ và $d=3$.
Vậy 1 ngày bạn Bảo Huy làm nhiều nhất $4+(11+1) \cdot 3=40$ bài toán.