Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c = 0$ ($a\neq 0$) (1)
Ta đã biết nếu phương trình (1) có nghiệm $x_1, x_2$ ($\Delta \geq 0$) thì:
$S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ và $P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Đây chính là nội dung của định lý Viete trong chương trình đại số lớp 9.
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau:
Hệ quả 1. Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $x_1 > x_2 > 0$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} > 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$
Hệ quả 2. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt $x_1 < x_2 < 0$ khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{cc} \Delta > 0 \\\\ S=x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} < 0 \\\\ P = x_1x_2 =\dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$
Hệ quả 3. Phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1 < 0 < x_2$ khi và chỉ khi $ac < 0$.
Trên đây là những hệ quả cơ bản và quan trọng, sau đây ta xét một vài ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m+1)x +m =0$ có hai nghiệm phân biệt dương.
Lời giải
$\Delta’ = (m+1)^2 – m = m^2 +m + 1 = (m + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} > 0 \forall m$.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
$x_1 + x_2 = 2(m+1) >0$ và $x_1x_2 = m > 0$ $\Leftrightarrow $ $m > 0$.
Kết luận: $m > 0$.
Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m^2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt âm.
Lời giải
$\Delta’ = (m-1)^2 – m^2 = 1-2m$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta’ > 0 \Leftrightarrow 1-2m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}$.
Hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
$x_1 + x_2 =2(m-1)< 0, x_1x_2 =m^2> 0 \Leftrightarrow m< 1, m\neq 0$.
Kết hợp các điều kiện ta có: $m < \dfrac{1}{2}, m \neq 0$.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 3mx +2m-5 = 0$
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $1 \cdot (2m-5) < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}$.
b) Phương trình có nghiệm bằng 0, suy ra $2m-5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}$.
Khi đó nghiệm còn lại là $\dfrac{15}{2}$.
Kết luận: $m = \dfrac{5}{2}$.
Trên đây là các ví dụ cơ bản, tiếp theo ta làm một số phương trình bậc hai có điều kiện.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-2mx+m^2-6}{\sqrt{x}} = 0(1)$
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
Điều kiện $x \geq 0$. Với điều kiện trên ta có (1) tương đương với phương trình:
$x^2-2mx +m^2-6 = 0$. (2)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.
$\Delta’ = m^2 – (m^2-6) = 6 > 0$, nên (2) luôn có 2 nghiệm.
Phương trình (2) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $S= 2m > 0, P = m^2-6 > 0$, giải ra được $m > \sqrt{6}$.
Kết luận. $m> \sqrt{6}$.
Phương trình (1) trong ví dụ 4 là kiểu phương trình bậc hai có điều kiện, việc biện luận nghiệm của phương trình dựa vào điều kiện của phương trình, khá đa dạng và rối rắm, tuy nhiên sử dụng suy luận ta có thể đưa về các dạng cơ bản, từ đó giải được bài toán. Để làm dạng toán này các em phải biết suy luận, tính toán cẩn thận.
Ta có thể làm tiếp các ví dụ sau:
Ví dụ 5. Cho phương trình $\dfrac{x^2 -2mx +m^2-3m+6}{x-3}=0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) Có 2 nghiệm phân biệt.
b) Có 1 nghiệm.
Lời giải
Điều kiện $x \neq 3$. Phương trình tương đương với: $x^2-2mx+m^2-3m+9=0$. (2)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 3.
$\Delta’ = m^2-(m^2-3m+9) > 0, 3^2 -2m(3) +m^2-3m+9 \neq 0$
Giải ra được $m>3, m \neq 6$.
b) (1) có một nghiệm khi và chỉ khi (2)
- Có nghiệm kép khác 3.
- Có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 3.
TH1: (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi $m = 3$, khi đó nghiệm kép bằng 3. (loại)
TH2: (2) có nghiệm bằng 3, suy ra $m=3, m=6$. Thử lại nhận $m=6$.
Kết luận. $m=6$.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho phương trình $x^2 – 6x -m = 0$.
Bài 2. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
b) Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-6x-m}{x-3}=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình $\dfrac{(3x^2-2x+m)}{\sqrt{x}}=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình có đúng 1 nghiệm.
Bài 4. Cho phương trình $(x+1)(x^2-2x-m) = 0$. Tìm $m$ để phương trình có:
a) nghiệm phân biệt.
b) 2 nghiệm phân biệt.
c) 1 nghiệm.
Bài 5. Cho phương trình $(\sqrt{x}-2)(-x^2 – 3mx+m^2) = 0$.
a) Giải phương trình khi $m=1$.
b) Chứng minh phương trình không có thể có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho phương trình $\sqrt{x}(x^2-2mx +m-1) = 0$. Tìm $m$ để phương trình:
a) Giải phương trình khi $m = 2$.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.
