Định lý 1. Cho tam giác $ABC$, các số $a, b, c$ thỏa $s = a+ b+ c $ khác 0. Điểm $M$ thỏa $$ a \cdot \overrightarrow{MA} + b \cdot \overrightarrow{MB} + c \cdot \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$
a) Với mọi điểm $O$ thì $$a \cdot OA^2 + b\cdot OB^2 + c \cdot OC^2 = s \cdot OM^2 + (a \cdot IA^2 + b \cdot IB^2 + c \cdot IC^2)$$
b) $$a \cdot IA^2 + b \cdot IB^2 + c \cdot IC^2 = \dfrac{1}{s} (abAB^2 +ac AC^2 + bc BC^2)$$
c) Trường hợp $s=a+b+c = 1$ ta có $$OM^2 = a \cdot OA^2 + b \cdot OB^2 + c \cdot OC^2 – (ab AB^2 + ac AC^2 + bc BC^2)$$
Chứng minh định lý.
a) $a \cdot OA^2 + b \cdot OB^2 + c \cdot OB^2 = a(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA})^2+b(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB})^2+c(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC})^2$
$ = (a+b+c)OM^2 + a \cdot MA^2 + b \cdot MB^2 + c \cdot MC^2 + 2 \overrightarrow{OM}(a \cdot \overrightarrow{MA} + b \cdot \overrightarrow{MB} + c \cdot \overrightarrow{MC} )$
$ = s \cdot OM^2 + (a \cdot IA^2 + b \cdot IB^2 + c \cdot IC^2)$
b) Đặt $P = a \cdot IA^2 + b \cdot IB^2 + c \cdot IC^2$. Áp dụng ý a, ta thay điểm $O$ bằng $A$ ta có:
$b \cdot AB^2 + c \cdot AC^2 = s \cdot MA^2 + P$, nhân hai vế với $a$ ta có $ab \cdot AB^2 + ac \cdot AC^2 = as \cdot MA^2 + aP$ (1), tương tự cho khi thay $O$ bởi $B, C$ ta được các hệ thức $bc \cdot BC^2 + ab \cdot AB^2 = bs MB^2 + bP$ (2) và $bc \cdot BC^2 + ac \cdot AC^2 = cs \cdot MC^2 + cP$ (3)
Cộng các đẳng thức (1), (2), (3) ta có: $2 (ab \cdot AB^2 + bc \cdot BC^2 + ac \cdot AC^2) = s (a \cdot MA^2+ b \cdot MB^2 + c \cdot MC^2) + P(a+b+c) = 2s \cdot P$
Suy ra $P = \dfrac{1}{s} (ab \cdot AB^2 + ac \cdot AC^2 + bc \cdot BC^2)$
c) Từ a, b ta có $a \cdot OA^2 + b\cdot OB^2 + c \cdot OC^2 = s \cdot OM^2 +\dfrac{1}{s} (ab \cdot AB^2 + ac \cdot AC^2 + bc \cdot BC^2)$
Với $s = a+b+c = 1$ thì $a \cdot OA^2 + b\cdot OB^2 + c \cdot OC^2 = OM^2 +(ab \cdot AB^2 + ac \cdot AC^2 + bc \cdot BC^2)$, suy ra
$OM^2 = a \cdot OA^2 + b\cdot OB^2 + c \cdot OC^2 – (ab \cdot AB^2 + ac \cdot AC^2 + bc \cdot BC^2)$
Định lý 2. Tổng quát của định lý 1. Gọi $\mathrm{M}$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ứng với các hệ số $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$.
a) Khi đó với điểm $\mathrm{O}$ bất kì ta có:
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i O A_i^2=\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right) M O^2+\sum_{i=1}^n \alpha_i O A_i^2
$$
b) Khi đó
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i G A_i^2=\frac{1}{\alpha} \sum_{1 \leq i<j \leq n} \alpha_i \alpha_j A_i A_j^2
$$
Trong đó $\alpha=\sum_{i=1}^n \alpha_i$
c) (Định lý lagrange – Jacobi)
$$
\sum_{i=1}^n \alpha_i O A_i^2=\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right) M O^2+\dfrac{1}{\alpha} \sum_{1 \leq i<j \leq n} \alpha_i \alpha_j A_i A_j^2
$$
Định lý 2 chứng minh tương tự định lý 1. Bạn đọc tự làm nhé.
Sau đây là một số áp dụng cho định lý trên.
Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm $M \in (O)$ thì $MA^2 + MB^2 + MC^2$ không đổi, tính giá trị đó theo $R$.
b) Tìm điểm $M$ thuộc $(O)$ sao cho $MA^2 + 2MB^2 + MC^2$ là nhỏ nhất.
Bài toán 2. Cho tam giác $A B C$ có $I$ là tâm nội tiếp và $O$ là tâm ngoại tiếp. Chứng minh rằng
a) $a \cdot I A^2+b \cdot I B^2+c \cdot I C^2=a b c$.
b) $I O^2=R^2 – 2 R r$ (Hệ thức Euler)
Bài toán 3. Chứng minh rằng trong tam giác $A B C$ thì $a^2+b^2+c^2 \leq 9 R^2$
Tiếp theo ta dùng phương pháp này để chứng minh một định lý rất nổi tiếng trong hình học phẳng.
Bài toán 4. (Định lý Feuerbach) Chứng minh rằng trong một tam giác đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp là tiếp xúc nhau.
Nhắc lại, đường tròn Euler là đường tròn qua trung điểm các cạnh và chân các đường cao, đường tròn Euler có bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp và tâm là trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Xét tam giác $ABC$, gọi $H, O, I$ lần lượt là trực tâm, tâm ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$, $N$ là tâm đường tròn Euler và $N$ là trung điểm $OH$. Để chứng minh $(I)$ và $(N)$ tiếp xúc, ta cần chứng minh $IN = \dfrac{1}{2}R – r$, trong đó $R, r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$.
Ta đi tính độ dài đoạn $IN$, như cách đã làm như các bài toán trên.
Ta có $a \cdot NA^2 + b \cdot NB^2 + c \cdot NC^2 = (a+b+c) NI^2 + \dfrac{1}{a+b+c} (ab AB^2+ac AC^2+bc BC^2) = (a+b+c)IN^2 + abc$.
$N$ là trung điểm $OH$ nên ta có $AN^2 = \dfrac{1}{2} AH^2 + \dfrac{1}{2} OA^2 – \dfrac{1}{4} OH^2$ (1)
Mà $AH = 2OM$ nên $AH^2 = 4OM^2 = 4(OC^2-MC^2) = 4R^2 – a^2$ (2)
$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$, suy ra $OH^2 = OA^2 +OB^2+OC^2+ 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB}$
$ = 3R^2 + (OA^2+OB^2 -AB^2) + (OA^2+OC^2-AC^2) + (OB^2+OC^2-BC^2)$
$ = 9R^2 – (a^2+b^2+c^2)$ (3)
(Ta cũng có thể sử dụng $OH = 3OG$, và kết quả bài 2 để cho ra kết quả trên)
Từ (1), (2), (3) ta có $NA^2 = \dfrac{1}{2}(4R^2- a^2) + \dfrac{1}{2}R^2 – \dfrac{1}{4}(9R^2 – (a^2+b^2+c^2)) = \dfrac{1}{4}(R^2-a^2+b^2+c^2)$
Tương tự cho $NB^2, NC^2$, từ đó ta có
$a \cdot NA^2+b\cdot NB^2+c \cdot NC^2 = \dfrac{1}{4}((a+b+c)R^2+ a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3)$
Khi đó $IN^2 = \dfrac{1}{4}R^2 + \dfrac{1}{4(a+b+c)}(a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3) -\dfrac{abc}{a+b+c}$
Mà $a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3)$
$ = (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) + 2abc = \dfrac{16s^2}{a+b+c} + 8Rs$
$=\dfrac{p^2r^2}{2p} + 8Rrp = \dfrac{16pr^2}{2} +8Rrp$
Suy ra $\dfrac{1}{4(a+b+c)}(a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3) = r^2 + Rr$.
Kết hợp các kết quả trên ta có $IN^2 = \dfrac{1}{4}R^2 +r^2 – Rr = (\dfrac{R}{2}-r)^2$.
Từ đó ta có $IN = \dfrac{1}{2} R – r$, hay $(I)$ và $(N)$ tiếp xúc trong.
Trên đây chỉ là một số ví dụ khá đơn giản để khai thức định lý Lagrange và Jacobi, các bạn có thể thay $M, O$ bằng một số điểm đặc biệt khác trong tam giác để có thêm các đẳng thức hoặc bất đẳng thức khác.