Ví dụ 1.
Tính số đo góc $\mathrm{\angle }BAC$ và $\mathrm{\angle }BDC$ như hình vẽ.

Ví dụ 2.
Trên đường tròn $(O;R)$ lấy các điểm $A,B$ sao cho $\text{sđ}\text{arc}AB={120}^{\circ }$ và $C$ thuộc cung nhỏ cung $AB$ và $\text{sđ}\text{cung}AC={30}^{\circ }$.
a) Tính số đo cung $BC$.
b) Tính độ dài $AB,BC$ theo $R$.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $A$ cắt $(O)$ tại $D$. Chứng minh $DB=DC$ và $OD\mathrm{\perp }BC$.

Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ khác phía đối với $AB$ sao cho $\mathrm{\angle }CAB={60}^{\circ },\mathrm{\angle }DAB={45}^{\circ }$.
a) Tính $\mathrm{\angle }ACB,\mathrm{\angle }ADB$.
b) Tính $\mathrm{\angle }DCB$ và $\mathrm{\angle }CDB$.
c) Tính $\mathrm{\angle }COD$.

Giải

a) Ta có $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp nửa đường tròn)\
$\mathrm{\angle }ADB={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp nửa đường tròn).
b) Ta có $\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }DAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DB), mà $\mathrm{\angle }DAB={60}^{\circ }$ nên $\mathrm{\angle }DCB={60}^{\circ }$.\
Ta có $\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }ABC$(góc nội tiếp cùng chắc cung AC).\
Mà $\mathrm{\angle }ABC={90}^{\circ }–\mathrm{\angle }CAB={45}^{\circ }$, nên $\mathrm{\angle }ADC={45}^{\circ }$.
b) Ta có $\mathrm{\angle }ABD={90}^{\circ }–\mathrm{\angle }DAB={30}^{\circ }$, suy ra $\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ABD={75}^{\circ }$.\
Khi đó $\mathrm{\angle }COD=2\mathrm{\angle }CBD={150}^{\circ }$.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ },\mathrm{\angle }B={75}^{\circ }$. Tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $D$.
a) Tính $\mathrm{\angle }DAB$.
b) Phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $E$. Chứng minh tam giác $DAE$ cân.
c) Chứng minh $D{A}^2=DB\cdot DC$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại điểm $M$. Biết $\mathrm{\angle }AMB={60}^{\circ }$.
a) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính $OA,OB$.
b) Tính số đo mỗi cung $AB$ (cung lớn và cung nhỏ).

Bài 2. Cho tứ giác $ABCE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $BE$ và $AC$ cắt nhau tại $I$. Cho $\mathrm{\angle }ABE={40}^{\circ },\mathrm{\angle }BAE={100}^o$.

a)Tính $\mathrm{\angle }AOE$ và $\mathrm{\angle }OAE$.
b)Tính $\mathrm{\angle }ACE$.
c) Tính $\mathrm{\angle }BCE$.
d) Chứng minh $IA\cdot IC=IB\cdot IE$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, thỏa $\widehat{BAC}={75}^0,\widehat{ACB}={45}^0$.
a) Tính $\widehat{AOB}$ và $AB$.
b) Tính $AC$.
c) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Vẽ đường kính $BD$.
a) Tính các góc của tam giác $BCD$.
b) Tính $BC$ theo $R$.
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $AH=R$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $D$ là điểm
chính giữa cung $AC$ không chứa $B$. Ta kẻ dây $DE$ song
song với cạnh $AB$, cắt $BC$ tại $I$. Chứng tỏ các tam giác
$ICE$ và $IBD$ cân.