I. Định lý Ceva và chứng minh định lý.
Định lý. Cho tam giác $ABC$ các điểm $A’, B’, C’$ thuộc đường thẳng $BC ,AC, AB$ sao cho 3 điểm đều thuộc cạnh của tam giác hoặc có 1 điểm thuộc cạnh 2 điểm thuộc kia trên phần kéo dài hai cạnh còn lại. Khi đó $AA’, BB’, CC’$ đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi: $$\dfrac{A’B}{A’C}.\dfrac{B’C}{B’A}.\dfrac{C’A}{C’B} = 1 (*)$$
Chứng minh.
a) Điều kiện cần. $AA’,BB’, CC’$ đồng quy hoặc song song suy ra (*).
Trường hợp 1: $AA’,BB’,CC’$ đồng quy tại điểm $P$.
Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BB’, CC’$ lần lượt tại $M, N$. Ta có:
- $\dfrac{AB’}{B’C’} = \dfrac{AM}{BC}$ (1)
- $\dfrac{BC’}{AC’} = \dfrac{BC}{AN}$ (2)
- Ta có $\dfrac{A’B}{AM} = \dfrac{PA’}{PA} = \dfrac{A’C}{AN}$, suy ra $\dfrac{A’B}{A’C} = \dfrac{AN}{AM}$ (3).
- Nhân 3 đẳng thức lại ta có điều cần chứng minh.
Trường hợp 2:
- Ta có $\dfrac{CB’}{AB’} = \dfrac{BC}{BA’}$ (1)
- $\dfrac{C’A}{C’B} = \dfrac{CA’}{BC}$ (2)
- Từ (1) và (2), suy ra $\dfrac{A’B}{A’C}.\dfrac{CB’}{AB’}.\dfrac{C’A}{C’B} = 1$.
b) Điều kiện đủ: từ (*) suy ra $AA’,BB’,CC’$ đồng quy hoặc song song.
Ta xét trường hợp có điểm $A’$ thuộc cạnh $BC$ và $B’,C’$ nằm trên các phần kéo dài của hai cạnh kia.
Trường hợp 1. Nếu có hai trong ba đường thẳng $AA’,BB’,CC’$ song song với nhau, giả sử $AA’ \parallel BB’$, từ $C$ kẻ $CC” ||AA’$ cắt $AB$ kéo dài tại $C”$.
- Theo điều kiện cần ta có $\dfrac{AB’}{B’C}.\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC”}{C”A} = 1$.
- Do đó $\dfrac{BC”}{C”A} = \dfrac{BC’}{C’A}$.
- Vậy $C” \equiv C’$ (do $C’$ và $C”$ đều nằm ngoài đoạn $AB$)
và $AA’||BB’||CC’$.
Trường hợp 2. Trong trường hợp không có hai đường thẳng nào trong ba đường thẳng nói trên song song, ta chứng minh cả ba đường đồng quy.
- Gọi $P$ là giao điểm của $AA’$ và $BB’$, cho $CP$ cắt $AB$ tại $C”$.
- Tương tự như trên ta cũng có $\dfrac{BC”}{C”A} = \dfrac{BC’}{C’A}$.
- Vậy $C” \equiv C$ (do $C$ và $C’$ cùng nằm ngoài đoạn $AB$).
- Vậy $AA’,BB’, CC’$ đồng quy.
Trong trường hợp nếu $A’,B’,C’$ cùng thuộc cạnh thì ta chứng minh tương tự như trên ta cũng có $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.
Chú ý. Ba đường thẳng xuất phát từ đỉnh của tam giác và đồng quy tại một điểm ta gọi là ba đường thẳng Ceva. Giao điểm của ba đường này được gọi là điểm Ceva.
II. Các ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. Chứng minh trong một tam giác các đường trung tuyến, các đường cao,các đường trung trực, các đường phân giác trong đồng quy.
Gợi ý
a. Tam giác $ABC$ có $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.
Khi đó ta có $\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB} = 1.1.1 = 1$.
Suy ra $AM, BN, CP$ đồng quy.
b. Gọi $AX, BY, CZ$ là ba đường cao.
Ta có $\triangle ABY \backsim \triangle ACZ \Rightarrow \dfrac{AY}{AZ} = \dfrac{AB}{AC}$.
Tương tự $\dfrac{BZ}{BX} = \dfrac{AC}{BC}, \dfrac{CY}{CX} = \dfrac{BC}{AC}$.
Khi đó $\dfrac{AY}{AZ}.\dfrac{BZ}{BX}.\dfrac{CY}{CZ} = 1$ hay $\dfrac{CX}{BX}.\dfrac{YC}{YB}.\dfrac{ZB}{ZA} = 1$.
Suy ra $AX, BY, CZ$ đồng quy.
c. Các đường trung trực đồng quy.
Xét tam giác có đỉnh là trung điểm của các cạnh, khi đó các đường trung trực là các đường cao của tam giác này nên theo b. thì đồng quy.
d. Gọi $AD, BE, CF$ là các đường phân giác trong của tam giác $ABC$.
Khi đó $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}, \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{BC}{AB}$ và $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{AC}{BC}$.
Suy ra $\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{PA}{PC} = 1$.
Suy ra $AD, BE, CF$ đồng quy.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng $AD, BE, CF$ đồng quy. (tại một điểm được gọi là điểm Gergonne).
Gợi ý
Ta có $AE = AF, BD = BF, CD = CE$. Suy ra $\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}.\dfrac{AF}{BF} = 1$.
Theo định lý Ceva ta có $AD, BE, CF$ đồng quy.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, các đường tròn bàng tiếp góc $A, B, C$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. Chứng minh $AD, BE, CF$ đồng quy.
Gợi ý
Đặt $AB = c, AC = b, BC = a, p = \dfrac{a+b+c}{2}$.
Gọi $K, L$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $AB, AC$.
Khi đó $AK = AL, BK = BD, CL = CD$.
Suy ra $2AK = AK + AL = AB + BK +AC+CL = AB + BD+ AC + CD = AB +AC+BC = 2p$
Suy ra $AK = AL = p$ và $BF = BD = BK = AK – AB = p-c$.
Tương tự ta có $AE = AF = p-a, CD = CE = p-c$.
Khi đó $\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AF}{BF} = \dfrac{p-b}{p-c}.\dfrac{p-c}{p-a}.\dfrac{p-a}{p-b} = 1$.
Áp dụng định lý Ceva ta có $AD, BE, CF$ đồng quy.
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ vuông. Về phía ngoài tam giác $ABC$ dựng các hình vuông $ABDE$ và $ACFG$.
Chứng minh rằng các đường thẳng $BF, CD$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường cao của tam giác $ABC$.
Gợi ý
- Gọi $L$ là giao điểm của $CD$ và $AB$; $K$ là giao điểm của $BF$ và $AC$.
Ta có $\dfrac{LA}{LB} = \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{AC}{AB}$.
Ta có $\dfrac{KC}{KA} = \dfrac{CF}{AB} = \dfrac{AC}{AB}$.
- Và $AB^2 = BC.BC, AC^2 = CH.BC \Rightarrow \dfrac{BH}{CH} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$.
Khi đó $\dfrac{BH}{CH}.\dfrac{CK}{AK}.\dfrac{AL}{BL} = 1$.
- Vậy theo định lý Ceva $AH, CD, BF$ đồng quy.
Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. $D$ là một điểm trên đoạn $AH$. $BD$ cắt $AC$ tại $E$, $CD$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $\angle EHA = \angle FHA$.
Gợi ý
- Gọi $K, L$ lần lượt là giao điểm của $HE, HF$ với đường thẳng qua $A$ song song với $BC$. Ta chứng minh $HKL$ cân tại $H$ hay cần chứng minh $AK = AL$.
- Áp dụng định lý Ceva cho các đường $AH, BE, CF$ ta có: $\dfrac{HB}{HC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AF}{BF} = 1$ (1)
Mà $\dfrac{CE}{AE} = \dfrac{CH}{AK}$ và $\dfrac{AF}{BF} = \dfrac{AL}{BH}$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $AL = AK$.
- Tam giác $HKL$ có trung tuyến $HA$ vừa là đường cao nên cân tại $H$, suy ra $\angle EHA = \angle FHA$.
III. Bài tập rèn luyện
- Cho tam giác $ABC$ có $AA’, BB’, CC’$ là ba đường Ceva. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$ và $M’,N’,P’$ là trung điểm $AA’,BB’,CC’$. Chứng minh rằng $MM’, NN’, PP’$ đồng quy.
- Cho tam giác $ABC$ nhọn, phân giác $AD$. Gọi $E, F$ là hình chiếu của $D$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng $BF, CE$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.
- Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M’$ sao cho $\angle M’AB = \angle MAC$; các điểm $N’, P’$ được xác định tương tự. Chứng minh $AM’, BN’, CP’$ đồng quy.
- Cho tam giác $ABC$. Hai điểm $D, D’$ đối xứng nhau qua trung điểm của $BC$; các cặp điểm $E, E’$, $F, F’$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $AD, BE, CF$
đồng quy khi và chỉ khi $AD’, BE’, CF’$ đồng quy.
- Cho tam giác $ABC$ và 3 đường Ceva $AA’,BB’,CC’$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A’B’C’$ cắt các cạnh $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A”, B”, C”$. Chứng minh rằng $AA”, BB”, CC”$ đồng quy.
- Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn qua 2 điểm $A, B$ cắt các cạnh $AC, BC$ tại $D, E$. $DE$ cắt AB tại $F$, $BD$ cắt $CF$ tại $M$. Chứng minh $MF = MC$ khi và chỉ khi $MD.MB = MC^2$.