1.Phương pháp đưa về phương trình tích
Ta biến đổi phương trình về dạng: $ A.B…=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} A=0\B=0\… \end{matrix} \right. $
Ví dụ 1. Giải phương trình: $ \sin x \cos 2x =\sin 2x \cos 3x-\dfrac{1}{2}\sin 5x$
Đáp số
Pt $ \Leftrightarrow \sin x \cos 2x =\dfrac{1}{2}\left(\sin 5x -\sin x\right)-\dfrac{1}{2}\sin 5x $
$ \Leftrightarrow \sin x (2\cos x+1)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ 2\cos x+1=0 \end{matrix} \right. $
$ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=k\pi \\x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi \end{matrix} \right. , k \in \mathbb{Z}.$
2. Phương pháp tổng các bình phương
Ta biến đổi phương trình thành dạng: $A^2+B^2+…=0 $
$\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} A^2=0\B^2=0\… \end{matrix} \right.$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$
Đáp số
$3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$
$ \Leftrightarrow 3\tan^2 x-2\sqrt{3}\tan x+1+4\sin^2 x-4\sin x+1=0 $
$ \Leftrightarrow (\sqrt{3}\tan x-1)^2+(2\sin x-1)^2=0 $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\tan x-1=0\\ 2\sin x-1=0 \end{matrix} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k \in \mathbb{Z} $
3. Phương pháp đánh giá
Ví dụ 3. Giải phương trình: $ \cos^5 x+x^2=0 $
Đáp số
$ \Leftrightarrow x^2=-\cos^5 x $
Vì $ -1 \le \cos x \le 1 $ nên $0 \le x^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1 $
mà $[-1;1] \subset \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\Rightarrow \cos x>0, \forall x \in [-1;1] \Rightarrow -\cos^5 x<0, \forall x \in [-1;1]$
Do đó, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình: $ \sin^4 x+\cos^{15} x=1$
Đáp số
Ta có:
$ \Leftrightarrow \sin^4 x+\cos^{15}x=\sin^2 x+\cos^2 x $
$\Leftrightarrow \sin^2 x(\sin^2 x-1)=\cos^2 x(1-\cos^{13} x)$
Vì: $\sin^2 x(\sin^2 x-1) \le 0 , \forall x$ và $\cos^2 x(1-\cos^{13} x)\ge 0, \forall x$
Nên: Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{matrix} \right. \\ \left[\begin{matrix} \cos x=0\\ \cos x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
4. Bài tập
Giải các phương trình sau:
a) $\cos^4 x+\sin^6 x=\cos 2x$
b) $\sin^2 x+\dfrac{1}{4}\sin^2 3x=\sin x.\sin^2 3x$
c) $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 3x=2$
d) $\cos^5 x+\sin^5 x+\sin 2x+\cos 2x=1+\sqrt{2}$
e) $\sin^8 2x+\cos^8 2x=\dfrac{1}{8}$
f) $\sin^3 x+\cos^3 x=1-\dfrac{1}{2}\sin 2x$
