Tag Archives: LuongGiac11

Phương trình lượng giác không mẫu mực

1.Phương pháp đưa về phương trình tích

Ta biến đổi phương trình về dạng: $ A.B…=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} A=0\B=0\… \end{matrix} \right.   $

Ví dụ 1. Giải phương trình: $ \sin x \cos 2x =\sin 2x \cos 3x-\dfrac{1}{2}\sin 5x$

Đáp số

Pt $ \Leftrightarrow \sin x \cos 2x =\dfrac{1}{2}\left(\sin 5x -\sin x\right)-\dfrac{1}{2}\sin 5x $

$  \Leftrightarrow \sin x (2\cos x+1)=0      $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ 2\cos x+1=0  \end{matrix} \right.    $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=k\pi \\x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi  \end{matrix} \right.  , k \in \mathbb{Z}.$

2. Phương pháp tổng các bình phương

Ta biến đổi phương trình thành dạng: $A^2+B^2+…=0  $

$\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} A^2=0\B^2=0\… \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

Đáp số

$3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

$  \Leftrightarrow 3\tan^2 x-2\sqrt{3}\tan x+1+4\sin^2 x-4\sin x+1=0   $

$ \Leftrightarrow (\sqrt{3}\tan x-1)^2+(2\sin x-1)^2=0  $

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\tan x-1=0\\ 2\sin x-1=0  \end{matrix} \right.  $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right.$

$ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}  $

3. Phương pháp đánh giá

Ví dụ 3. Giải phương trình: $ \cos^5 x+x^2=0         $

Đáp số

$  \Leftrightarrow x^2=-\cos^5 x     $

Vì $ -1 \le \cos x \le 1  $ nên $0 \le x^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1 $

mà $[-1;1] \subset \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow \cos x>0, \forall x \in [-1;1] \Rightarrow -\cos^5 x<0, \forall x \in [-1;1]$

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải phương trình: $  \sin^4 x+\cos^{15} x=1$

Đáp số

Ta có:

$ \Leftrightarrow \sin^4 x+\cos^{15}x=\sin^2 x+\cos^2 x  $

$\Leftrightarrow \sin^2 x(\sin^2 x-1)=\cos^2 x(1-\cos^{13} x)$

Vì: $\sin^2 x(\sin^2 x-1) \le 0 , \forall x$ và $\cos^2 x(1-\cos^{13} x)\ge 0, \forall x$

Nên: Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{matrix} \right. \\ \left[\begin{matrix} \cos x=0\\ \cos x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) $\cos^4 x+\sin^6 x=\cos 2x$

b) $\sin^2 x+\dfrac{1}{4}\sin^2 3x=\sin x.\sin^2 3x$

c) $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 3x=2$

d) $\cos^5 x+\sin^5 x+\sin 2x+\cos 2x=1+\sqrt{2}$

e) $\sin^8 2x+\cos^8 2x=\dfrac{1}{8}$

f) $\sin^3 x+\cos^3 x=1-\dfrac{1}{2}\sin 2x$

 

 

 

 

 

 

 

Một số phương trình lượng giác thường gặp (tt)

I. Lý thuyết

3. Phương trình đẳng cấp với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a\sin^2 x+b \sin x \cos x+ c \cos^2 x=d$  (*)

(hoặc $a\cos^2 x+b \sin x \cos x+ c \sin^2 x=d$.)

Cách làm:

  • Với $\cos x=0 \Rightarrow \sin x=1$ nếu (*) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm.

  • Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^2 x$, ta được:

$(a-d)\tan^2 x+b \tan x+ c-d =0$

Ví dụ 3. Giải phương trình:

$2\sin^2 x-5\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$

Đáp số

+ Nếu $\cos x =0$ thì phương trình trở thành $\sin x=0$, không xảy ra.

+ Nếu $\cos x \ne 0$, chia hai vế phương trình cho $\cos^2$ ta được:

$2\tan^2 x-5\tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=\dfrac{3}{2}$.

Với $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với $\tan x =\dfrac{3}{2}$, có số $\alpha$ để $\tan \alpha =\dfrac{3}{2}$ ta có: $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha + k\pi .$

Vậy phương trình có các nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{4}, x=\alpha+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a(\sin x \pm \cos x)+b\sin x\cos x=c$

Cách làm:

Đặt: $t=\sin x+ \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Hoặc $t=\sin x- \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sin 2x -12(\sin x-\cos x)+12=0$

Đáp số

Đặt: $t= \sin x -\cos x,$ với $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=1-t^2$

PT $\Leftrightarrow 1-t^2-12t+2=0 \Leftrightarrow -t^2-12t+13=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-13$ (loại).

$\Rightarrow \sin x-\cos x =1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\ x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi +k2\pi \end{matrix} \right. k \in \mathbb{Z}$

II. Bài tập

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\cos^2 x-\sqrt{3}\sin2x=1+\sin^2 x$

b) $1+2\sin 2x=6\cos^2 x$

c) $\cos^3 x-4\sin^3 x-4\cos x \sin^2 x+\sin x=0$

d) $\sqrt{2}\sin^3 \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x$

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x-4(\cos x-\sin x)=4$

b) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

c) $-1+\sin^3 x+\cos^3 x=\dfrac{3}{2}\sin 2x$

d) $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x)$

Đáp số

1. a) $x=k\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x= \arctan (-5)+k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

d) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

2. a) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi; x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) $x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\varphi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi;$

$x=\dfrac{3\pi}{4}-\varphi +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \varphi=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}$.

d) $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$

 

 

Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. Lý thuyết

1. Phương trình thuần nhất với một hàm số lượng giác

  • Bậc nhất: $a\sin x+b=0$ (hoặc $a\cos x+b=0, a\tan x+b=0, a\cot x+b=0$).
  • Bậc hai: $a\sin^2 x+b\sin x+c=0$

(hoặc $a\cos^2 x+b\cos x+c=0, a\tan^2 x+b\tan x+c=0, a\cot^2 x+b\cot x+c=0)$

Cách giải: Đặt ẩn phụ $t=\sin x (t=\cos x, t=\tan x, t=\cot x)$, đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo $t$.

Chú ý: Với ẩn phụ $t=\sin x  (t=\cos x)$ thì phải có điều kiện $|t| \le 1$.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0$

b) $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$

c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0$

d) $\cos 2x+3\sin x -1=0$

e) $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$

Đáp số

a) $\sqrt{3} \cot (3x-30^o)-1=0 \Leftrightarrow \cot (3x-30^o)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\cot 60^o$

$\Leftrightarrow 3x-30^o=60^o+k180^o \Leftrightarrow x=30^o+k60^o (k \in \mathbb{Z})$

b) Điều kiện: $x \ne k\pi$. Ta có: $\cot^2 x+(\sqrt{3}-1)\cot x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cot x=1=\cot \dfrac{\pi}{4} \\ \cot x= -\sqrt{3}=\cot \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

c) $6\sin^2 x+5\cos x-4=0 \Leftrightarrow 6(1-\cos^2x)+5\cos x -4=0$

$\Leftrightarrow 6\cos^2 x -5\cos x -2 =0 (*).$

Đặt $t=\cos x$, điều kiện $|t| \le 1$. Phương trình (*) trở thành:

$ 6t^2-5t-2=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}$ (thỏa mãn) hoặc $t=\dfrac{5+\sqrt{73}}{12}$ (loại vì không thỏa điều kiện).

Do đó: $\cos x=\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha +k2\pi$ với $\cos \alpha =\dfrac{5-\sqrt{73}}{12}.$

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: $x=\pm \alpha +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\cos 2x +3\sin x -1=0 \Leftrightarrow 1-2\sin^2 x+3\sin x-1=0$

$\Leftrightarrow \sin x(-2\sin x+3)=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \ (nhận) \\ \sin x=\dfrac{3}{2}  \   (loại) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

e) Điều kiện: $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi.$ Vì $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$ nên:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}=3\tan x+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} (1+\tan^2 x)=3\tan x+\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan^2 x-3\tan x =0$

Đặt $t=\tan x$, khi đó phương trình đã cho trở thành:

$ \sqrt{3} t^2-3t=0 \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=\sqrt{3}$

+ Với $t=0$ ta có $\tan x =0 \Leftrightarrow x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

+ Với $t=\sqrt{3}$ ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có các họ nghiệm: $x=k\pi; x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi.$

2. Phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$

$a \sin x+b\cos x =c  \   (1)$

($a,b$ là các số đã cho khác 0).

Cách giải. Chia vế của (1) cho $\sqrt{a^2+b^2}$ ta được:

$(1) \Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos b =\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$     (2)

Vì $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1$ nên có số $\alpha$ sao cho:

$\cos \alpha =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$ phương trình (2) trở thành:

$\sin x \cos \alpha+\sin \alpha \cos x=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} $       (3)

Phương trình (3) có nghiệm $\Leftrightarrow \left|\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \le 1 \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge c^2.$

Khi đó (3) $\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\sin \beta$ (trong đó $\sin \beta=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) $5\sin x-12\cos x =13$

b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2$

c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2$

d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7$

Đáp số

a) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ ta được:

$\dfrac{5}{13}\sin x-\dfrac{12}{13}\cos x=1 (*).$ Đặt $\cos \varphi =\dfrac{5}{13}$ với $0< \varphi<\dfrac{\pi}{2}.$

Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{12}{13}.$ Phương trình (*) trở thành:

$\sin x\cos x-\sin x \cos x=1 \Leftrightarrow \sin (x-\varphi)=1 \Leftrightarrow x-\varphi =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\varphi +\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sqrt{3} \sin x-\cos x=2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x=1 \Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$

$x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.

c) $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)^2+\sqrt{3}\cos x=2 \Leftrightarrow \sin^2 \dfrac{\pi}{2}+\cos^2 \dfrac{\pi}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2$

$\Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right. (k\in \mathbb{Z})$.

d) $4\cos^2 x+3\sin 2x=7 \Leftrightarrow 4\left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)+3\sin 2x=7$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x+3\sin 2x=5$

Ta thấy phương trình có $a^2+b^2=13<c^2=25$.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

II. Bài tập

1. Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{2\sin x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$

b) $\sqrt{\sin x}.(2\cos x+1)=0$

c) $\cos 2x \sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)-\sin2x\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2. Giải các phương trình sau:

a) $-2\sin^2 x+5\sin x+3=0$

b) $\cos 2x+\sin^2 x+2\cos x+1=0$

c) $\dfrac{\sqrt{3}}{\sin^2x}=3\cot x+\sqrt{3}$

3. Giải các phương trình sau:

a) $\sin x -\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$

b) $(\sqrt{3}-2)\cos 3x+\sin 3x-2=0$

c) $\sin(x+45^o)+\cos(x+45^o)=\sqrt{2}\sin 4x$

Đáp số

1. a) $x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; x=k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{30}+k\dfrac{2\pi}{5}; x=-\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5}$

2. a) $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi; x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$

b) $x=\pi+k2\pi$

c) $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

3. a) $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$

b) Vô nghiệm.

c) $x=30^o+k120^o; x=18^o+k72^o$.