I. Lý thuyết
3. Phương trình đẳng cấp với $\sin x$ và $\cos x$
Dạng: $a\sin^2 x+b \sin x \cos x+ c \cos^2 x=d$ (*)
(hoặc $a\cos^2 x+b \sin x \cos x+ c \sin^2 x=d$.)
Cách làm:
$(a-d)\tan^2 x+b \tan x+ c-d =0$
Ví dụ 3. Giải phương trình:
$2\sin^2 x-5\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$
Đáp số
+ Nếu $\cos x =0$ thì phương trình trở thành $\sin x=0$, không xảy ra.
+ Nếu $\cos x \ne 0$, chia hai vế phương trình cho $\cos^2$ ta được:
$2\tan^2 x-5\tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=\dfrac{3}{2}$.
Với $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Với $\tan x =\dfrac{3}{2}$, có số $\alpha$ để $\tan \alpha =\dfrac{3}{2}$ ta có: $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha + k\pi .$
Vậy phương trình có các nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{4}, x=\alpha+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
4. Phương trình đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$
Dạng: $a(\sin x \pm \cos x)+b\sin x\cos x=c$
Cách làm:
Đặt: $t=\sin x+ \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$
Hoặc $t=\sin x- \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sin 2x -12(\sin x-\cos x)+12=0$
Đáp số
Đặt: $t= \sin x -\cos x,$ với $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$
$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=1-t^2$
PT $\Leftrightarrow 1-t^2-12t+2=0 \Leftrightarrow -t^2-12t+13=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-13$ (loại).
$\Rightarrow \sin x-\cos x =1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\ x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi +k2\pi \end{matrix} \right. k \in \mathbb{Z}$
II. Bài tập
- Giải các phương trình sau:
a) $\cos^2 x-\sqrt{3}\sin2x=1+\sin^2 x$
b) $1+2\sin 2x=6\cos^2 x$
c) $\cos^3 x-4\sin^3 x-4\cos x \sin^2 x+\sin x=0$
d) $\sqrt{2}\sin^3 \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x$
- Giải các phương trình sau:
a) $\sin 2x-4(\cos x-\sin x)=4$
b) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$
c) $-1+\sin^3 x+\cos^3 x=\dfrac{3}{2}\sin 2x$
d) $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x)$
Đáp số
1. a) $x=k\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$
b) $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x= \arctan (-5)+k\pi$
c) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k\pi$
d) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
2. a) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi; x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$
c) $x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\varphi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi;$
$x=\dfrac{3\pi}{4}-\varphi +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \varphi=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}$.
d) $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$
Like this:
Like Loading...
