Lý Ngọc Vy – Giáo viên Star Education

Định nghĩa 1. Thương trong phép chia số $a$ cho số $b(b \neq 0)$ gọi là tỉ số của $a$ và $b$.

Định nghĩa 2. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a: b=c: d
$$

Trong đó:

• $a$ và $d$ gọi là ngoại tỉ.
• $b$ và $c$ gọi là trung tỉ.

Tinh chất 1. Cho $a, b, c, d$ là các số khác 0 . Ta có một số tính chất sau:
(a) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a d=b c$
(b) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
(c) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$.

Dãy tỉ số bằng nhau.

$$
\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{a-b+c}{x-y+z}
$$

Với điều kiện là mẫu thức khác 0 .

Ví dụ 1. Tìm $x$ để tạo thành các tỉ lệ thức
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20}$
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x}$
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200}$

Lời giải.
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20} \Rightarrow x=20: 4.3 \Rightarrow x=15$.
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x} \Rightarrow x=4: 2.2,5 \Rightarrow x=5$.
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200} \Rightarrow x=3,5: 5.200: 4 \Rightarrow x=35$.

Ví dụ 2. Tìm $x, y$ biết:
(a) $x: y=20: 9$ và $x-y=-22$;
(b) $3 x=4 y$ và $x+2 y=35$;
(c) $x: 2=2 y: 3$ và $x y=27$;

Lời giải.
(a) $\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{x-y}{20-9}=\dfrac{-22}{11}=-2 \Rightarrow x=-40 ; y=-18$.
(b) $\dfrac{x}{4}=\frac{y}{3}=\dfrac{x+2 y}{4+2.3}=\dfrac{35}{10}=\dfrac{7}{2} \Rightarrow x=14 ; y=\dfrac{21}{2}$.
(c) $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2 y}{3}=k$
$k^2=\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{2 y}{3}=\dfrac{x \cdot 2 y}{6}=\dfrac{27 \cdot 2}{6}=9 \Rightarrow k=3$ hoặc $k=-3 \Rightarrow x=6 ; y=\dfrac{9}{2}$ hoặc $x=-6 ; y=\dfrac{-9}{2}$.

Ví dụ 3. Tìm $a, b$ và $c$ trong mỗi trường hợp sau:
(a) $5 a-3 b-3 c=-536$ và $\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}, \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8}$;
(b) $3 a-5 b+7 c=86$ và $\dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}$;
(c) $5 a=8 b=3 c$ và $a-2 b+c=34$;
(d) $3 a=7 b$ và $a^2-b^2=160$;

Lời giải.

(a)
$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6} \Rightarrow \frac{a}{20}=\dfrac{b}{30} ; \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8} \Rightarrow \dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48} $
$\dfrac{a}{20}=\dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48}=\dfrac{5 a-3 b-3 c}{5.20-3.30-3.48}=\dfrac{-536}{-134}=4$

$\Rightarrow a=80 ; b=120 ; c=192$
(b)
$ \dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}=\dfrac{3(a+3)-5(b-2)+7(c-1)}{3.5-5.3+7.7}=\dfrac{3 a-5 b+7 c+12}{49}=2 $
$ \Rightarrow a=7 ; b=8 ; c=15 $
(c)
$5 a=8 b=3 c \Rightarrow \dfrac{a}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{3}}$

$=\dfrac{a-2 b+c}{\dfrac{1}{5}-2 \cdot \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{34}{34}=1$

$\Rightarrow a=24 ; b=15 ; c=40 .
$
(d)
$3 a=7 b \Rightarrow \dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{3}=k $
$k^2=\dfrac{a^2}{49}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{a^2-b^2}{49-9}=\dfrac{160}{40}=4$
$\Rightarrow k=2$ hoặc $k=-2 \Rightarrow a=14$ hoặc $a=-14 ; b=6$ hoặc $b=-6$.

Ví dụ 4. Hưởng ứng phong trào quyên góp sách giáo khoa cũ giúp đỡ học sinh có hoàn cảnh khó khăn, ba lớp 7A, 7B. 7C đã quyên góp số sách tỉ lệ với $3: 4: 5$. Tính số sách giáo khoa mỗi lớp quyên góp, biết số sách quyên góp của lớp 7 hơn lớp 7A là 22 quyển.

Lời giải. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sách của các lớp 7A, 7B, 7C. Ta có
$$
\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{z-x}{5-3}=\frac{22}{2}=11 \Rightarrow x=33 ; y=44 ; z=55
$$

Ví dụ 5. Tìm $a ; b ; c$ biết $\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}$ và $a+b+c=48$.
Lời giải.
$\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}=\dfrac{12 a-15 b-20 c+12 a-15 b+20 c}{7+9+11}=0 $
$\Rightarrow 12 a=15 b ; 20 c=12 a ; 15 b=20 c . $
$\Rightarrow \dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4} ; \dfrac{c}{3}=\dfrac{a}{5} ; \dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3} $
$\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{5+4+3}=\dfrac{48}{12}=4 $

$\Rightarrow a=20 ; b=16 ; c=12 $

Bài tập.

Bài 1. Tìm số hữu tỉ $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
(a) $6: x=6,5:(-29,25)$;
(b) $14 \frac{2}{3}:\left(-80 \frac{2}{3}\right)=(0,5 . x): 35 \frac{3}{4}$;
(c) $4: x=x: 0,16$;
(d) $(1-x)^3:(-0,5625)=0,525: 0,7$;

Bài 2. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ từng nhóm bốn số sau không?
(a) $-1 ;-3 ;-9 ; 27$;
(b) $-1 ; \frac{-1}{2} ; \frac{-1}{3} \frac{-1}{6}$;
(c) 0,$4 ; 0,04 ; 0,004 ; 0,0004$;
(d) $3^{-3} ; 3^{-5} ; 3^{-7} ; 3^{-11}$

Bài 3. Tìm $a, b, c$ biết

(a) $15 a=10 b=6 c$ và $a b c=-1920$;
(b) $a^2+3 b^2-2 c^2=-16$ và $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$;

Bài 4. Tìm $x ; y ; z$ biết $2 x=3 y ; 4 y=5 z$ và $4 x-3 y+5 z=7$
Bài 5. Tìm $x ; y ; z$ biết $3 x=4 y ; 5 y=6 z$ và $x y z=30$.