Tag Archives: RadicalAxis

Đường thẳng qua điểm cố định. VMO 2014.

Bài toán. (PoP1.12) (VMO 2014) Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , trong đó $B, C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$ . Trên các tia $A B$ và $A C$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $M A = M C$ và $N A = N B$ . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A M N$ và $A B C$ cắt nhau tại $P$ ( $P \neq A$ ). Đường thẳng $M N$ cắt đường thẳng $B C$ tại $Q$ .

Chứng minh rằng ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng.
Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ . Các đường tròn có tâm là $M, N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ( $K \neq A$ ). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $A K$ cắt $B C$ tại $E$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A D E$ cắt $(O)$ tại $F (F \neq A)$ . Chứng minh rằng đường thẳng $A F$ đi qua một điểm cố định.

Gợi ý

Ta có $M A = M C$ và $N A = N B$ nên tam giác $M A C$ cân tại $M$ và tam giác $N A B$ cân tại $N$ .
Do đó $∠ B M C = ∠ B A C + ∠ M A C = 2 ∠ B A C = ∠ B O C$ hay tứ giác $B M O C$ nội tiếp.
Tương tự thì tứ giác $B O N C$ nội tiếp nên $B M N C$ nội tiếp.
Khi đó $Q M . Q N = Q B . Q C$ , lại có $A P M N, A P B C$ nội tiếp nên $A, P, Q$ thẳng hàng.

Tam giác $A M N$ có $O M ⊥ A N, O N ⊥ A M$ nên $A O ⊥ M N$ . Mặt khác $A K ⊥ M N$ nên $A, O, K$ thẳng hàng.
Ta có $∠ O A E = ∠ O D E = 90^{o}$ nên $A O D E$ nội tiếp, do đó $∠ O A E = ∠ O F E = 90^{o}$ . Hơn nữa $O A = O F$ nên $A, F$ đối xứng qua $O E$ .
Giả sử $O E$ cắt $A F$ tại $H$ thì $E H . E O = E A^{2} = E B . E C$ nên $B H O C$ nội tiếp, lại có $∠ O H A = 90^{o}$ nên $A H$ đi qua $G$ là điểm chính giữa cung $B C$ không chứa $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$ .
Vậy $A F$ luôn đi qua điểm $G$ cố định.

Trực tâm thuộc một đường cố định.

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.10). Cho tam giác $A B C$ và điểm $D$ thay đổi trên cạnh $B C$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B D$ cắt $A C$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $A C D$ cắt $A B$ tại $F$ . Gọi $H$ là trực tâm.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$ và đường tròn đường kính $A H$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $P$ . Chứng minh $A P$ đi qua trung điểm của $B C$ .
Chứng minh trực tâm tam giác $P E F$ thuộc một đường thẳng cố định.

Gợi ý

Các đường cao $A N, B E, C L$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $A M$ là trung tuyến, $H P ⊥ A M$ . Chứng minh $P \in (A E F)$ .
$\frac{P K}{P N} = \frac{A C}{A B}$ .
$B F . B A = B D . B C, B K . B A = B L . B C$ , suy ra $K F . B A = D L . B C$ .
Tương tự $E N . A C = D L . B C$ , suy ra $\frac{K F}{E N} = \frac{A C}{A B}$ .
Do đó tam giác $P K F$ và $P N E$ đồng dạng, suy ra $P \in (A E F)$ .
Gọi $X, Y$ là giao điểm của $(P; P A)$ với $A B, A C$ . Chứng minh trực tâm tam giác $P E F$ thuộc $X Y$ .

Trục ba đường tròn là đường thẳng Euler

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.9) Cho tam giác $A B C$ là tam giác nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $A D, B E, C F$ là ba đường phân giác trong của tam giác $A B C$ . Gọi $L, M, N$ lần lượt là trung điểm của $A D, B E, C F$ . Gọi $(O_{1}), (O_{2}), (O_{3})$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$ , tiếp xúc với $O A$ tại $A$ ; đi qua $M$ , tiếp xúc với $O B$ tại $B$ ; đi qua $N$ tiếp xúc với $O C$ tại $C$ . Chứng minh rằng $(O_{1}), (O_{2}), (O_{3})$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $A B C$ .

Gợi ý

Gọi $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ là các đường cao của tam giác $A B C$ . $A_{2}$ là giao điểm của $A O_{1}$ và $B C$ .

Tam giác $A_{2} A D$ cân tại $A_{2}$ nên $A_{2} L ⊥ A L$ . Và $O_{1} A L ∽ A_{2} A D$ nên $O_{1}$ là trung điểm của $A A_{2}$ . Do đó $A_{1}$ thuộc đường tròn $(O_{1})$ đường kính $A A_{2}$ . Chứng minh tương tự thì $B_{1}, B_{2} \in (O_{2}), C_{1}, C_{2} \in (O_{3})$ .
Ta có $H A_{1} . H A = H B_{1} . H B$ và $O A, O B$ tiếp xúc với $(O_{1}), (O_{2})$ và $O A = O B$ nên $H O$ là trục đẳng phương của $(O_{1}), (O_{2})$ .
Chứng minh tương tự thì $H O$ cũng là trục đẳng phương của các cặp đường tròn $(O_{1}), (O_{3})$ và $(O_{2}), (O_{3})$ .
Do đó các đường tròn đi qua 2 điểm chung và đường thẳng qua 2 điểm chung là $H O$ , và $H O$ qua $G$ .

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp. China 2010.

Leave a reply

Bài toán. (PoP 1.7) (China 2010) Lấy $A B$ là dây cung của đường tròn tâm $O$ , $M$ là điểm chính giữa cung $A B$ và $C$ là điểm nằm ngoài đường tròn $(O)$ . Từ $C$ vẽ hai tiếp tuyến đến $(O)$ tại tiếp điểm $S, T$ . Gọi $E$ là giao điểm của $M S$ và $A B$ , $F$ là giao điểm của $M T$ và $A B$ . Từ $E, F$ vẽ các đường thẳng vuông góc với $A B$ , cắt $O S$ và $O T$ lần lượt tại $X$ và $Y$ . Một đường thẳng qua $C$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$ , $M P$ cắt $A B$ tại $R$ . Chứng minh rằng $X Y$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $P Q R$ .

Gợi ý

Chứng minh $X E = X S$ .
Chứng minh $P, Q, U, R$ đồng viên, $Q, S, E, U$ đồng viên.
Chứng minh $M S . M E = M Q . M U = M P . M R$ . Suy ra $M$ thuộc trục đẳng phương của $(P Q R)$ và $(X)$ . Và $C S^{2} = C P . C Q$ nê $C$ cũng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn trên.
Do đó $M C ⊥ Z X$ .
Cmtt thì $M C ⊥ Z Y$ , suy ra $Z, X, Y$ thẳng hàng.

Đường thẳng tiếp xúc đường tròn

1 Reply

Bài toán. (PoP1.6) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với góc $A$ nhọn. Gọi $D$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $B C$ và $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A C, A B$ . Giả sử $D E, D F$ cắt lại với $(O)$ tại điểm thứ hai tương ứng là $Y$ , $Z$ . Đường tròn $(A E Y)$ cắt $(A F Z)$ tại điểm thứ hai $M$ . Gọi $N$ là trung điểm của $B C$ và đường tròn $(D N M)$ giao với $B C$ tại điểm thứ hai $X$ . Chứng minh rằng $A X$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

Gợi ý

Gọi $L, K$ là giao điểm của $D Z, D Y$ với $B C$ .

Ta có $D L . D Z = D B^{2} = D K . D Y$ , suy ra $L K Y Z$ nội tiếp. Suy ra $E F Z Y$ nội tiếp.
Khi đó $A M, Z F, Y E$ đồng quy tại $D$ .
Chứng minh $E, M, F$ thẳng hàng.
Ta có $∠ X M D = ∠ X N D = 90^{o}$ , suy ra $X M ⊥ A P$ và $A M = M P$ suy ra $X A = X P$ .
Từ đó chứng minh được $A X$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Tag Archives: RadicalAxis

Đường thẳng qua điểm cố định. VMO 2014.

Trực tâm thuộc một đường cố định.

Trục ba đường tròn là đường thẳng Euler

Đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp. China 2010.

Đường thẳng tiếp xúc đường tròn