Tag Archives: TinhChat

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Leave a reply

Định lý. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
  • Tia kẻ từ điểm đố qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $O$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh rằng :

  1. Bốn điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
  2. $OA$ là đường trung trực của $BC$.
  3. $OH.OA = R^2$.
Gợi ý

1.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB \bot AB,OC \bot AC$. \\

  • Gọi $M$ là trung điểm của $OA$. Tam giác $OAB$ vuông tại $B$ có $BM$ là trung tuyến nên $BM = \dfrac{1}{2}OA = MA = MO$.
  • Tam giác $OCA$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến nên $CM = \dfrac{1}{2}OA$.
  • Từ đó ta có $MA = MO = MB = MC$, do đó 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$.

2. Ta có $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB = AC$, mặt khác $OB = OC = R$, suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

3. $OA$ là trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.
Tam giác $OBA$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $OH\cdot OA = OB^2 = R^2$.

Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ và $d_2$ là tiếp tuyến tại $B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $D, E$.
1. Chứng minh $DE = AD + BE$.
2. Chứng minh $\angle DOE = 90^\circ$ và $CD\cdot CE = R^2$.

Gợi ý

1.

  • Ta có tiếp tuyến tại $C$ và $A$ cắt nhau tại $D$ nên $DC = DA$.
  • Tiếp tuyến tại $C$ và tiếp tuyến tại $B$ cắt nhau tại $E$ nên $CE = BE$.
    Suy ra $DE = CD + CE = AD + BD$.

2.

  • Ta có $OD$ là phân giác của $\angle CAO$, $OE$ là phân giác của của $\angle BOC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
  • Mà $\angle CAO$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù, suy ra $OD \bot OE$.
  • Ta có $OC \bot DE$ (t/c tiếp tuyến). Tam giác $DOE$ vuông tại $O$ có $OC$ là đường cao nên $CD.CE = OC^2 = R^2$.

Bài tập.

1.Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Dây cung $AB = R\sqrt{3}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $P$. $OP$ cắt $AB$ tại $K$.

a. Chứng minh $OK \bot AB$. Tính $OK$.
b.Tính $PA, PB$. Chứng minh tam giác $PAB$ đều.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$.

a.Chứng minh 4 điểm $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm $I$ của đường tròn.
b.Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$.
c.Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BH, CH$. Chứng minh rằng $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$.

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn lấy điểm $D$ sao cho $\angle ABD = 30^\circ$, $BD$ cắt $(O)$ tại $C$. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$.

a.Tính $BD, AC$.
b. Tính $DE$.
c.Gọi $F$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh $CF$ là tiếp tuyến của $(O)$.
d.Gọi $M$ là giao điểm của $OD$ và $AE$, chứng minh $FM \bot OE$.

4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $C$.

a. Chứng minh rằng $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b. Từ $D$ vẽ tiếp tuyến $DE$ đến $(O)$ ($E$ khác $A$). Tính $DE$ và chứng minh tam giác $ADE$ đều.
c. Tứ giác $OACE$ là hình gì? Tại sao?
d.$DB$ cắt $(O)$ tại $F$. Tính $DF$. Chứng minh $\angle DBE =\angle DEF$.

5. Cho đường tròn tâm $O$, điểm $E$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $EM, EN$ với đường tròn ($M, N$ là các tiếp điểm).
a.Chứng minh $OE$ vuông góc với $MN$.
b.Vẽ đường kính $NB$ của đường tròn $(O)$. Biết $OE \bot MN$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $OBMH$ là hình thang.
c. Biết $OM = 2, OE = 4$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $EMN$.
d.Tính diện tích tam giác $EMN$.