A. PHẦN CHUNG (8 điểm)}
Bài 1 (1 điểm). Giải phương trình: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x =0$.
Bài 2 (1 điểm). Xác định số hạng không chứa $x$ trong khai triển của $\left( 2x^2 – \dfrac{1}{x}\right) ^{15}$.
Bài 3 (1,5 điểm). Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng $(u_n)$, biết rằng $\left\{ \begin{array}{l}u_2 + u_5 =11\\ u_6 + 2u_4 =27 \end{array}\right. $
Bài 4 (1 điểm). Bạn Nguyên tham gia trò chơi “Vòng quay kì diệu”: Vòng quay là một vòng tròn được chia thành $16$ ô bằng nhau (như hình vẽ), trong đó có $10$ ô được ghi chú ” Chúc mừng bạn đã nhận được $1$ phần quà” và $6$ ô được ghi chú “Chúc bạn may mắn lần sau”. Tính xác suất để sau ba lần quay bạn Nguyên được hai phần quà?
Bài 5 (3,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$, $SA$.
a) Chứng minh $SC$ song song với mặt phẳng $(MNI)$.
b) Gọi $P$ là điểm thuộc cạnh $SB$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(CMI)$ và mặt phẳng $(APN)$.
c) Gọi $G$, $K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ACD$, tam giác $SBC$. Tìm thiết diện của mặt phẳng $(IGK)$ và hình chóp $S. ABCD$.
B. PHẦN RIÊNG (2 điểm)
I. Dành cho các lớp 11CL, 11CH, 11CS, 11A1, 11A2
Bài 6a (1 điểm). Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{n+1}{2n^2+1}$, $n\in \mathbb{N^*}$.
Bài 7a (1 điểm). Câu lạc bộ “Kĩ năng sống” của một trường gồm $17$ học sinh lớp 10, $8$ học sinh lớp 11 và $6$ học sinh lớp 12. Ban chủ nhiệm câu lạc bộ cần chọn $9$ học sinh tham gia một hoạt động trải nghiệm do Quận đoàn tổ chức. Tính xác suất để trong các học sinh được chọn có đủ cả ba khối lớp.
II. Dành cho các lớp 11CV, 11CA1, 11CA2, 11CA3
Bài 6b (1 điểm). Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2n-5}{n+4}$, $n\in \mathbb{N^*}$.
Bài 7b (1 điểm). Đội văn nghệ của một trường có $12$ học sinh nữ khối 11; $10$ học sinh nam khối 11 và $9$ học sinh nữ khối 10. Trong một tiết mục văn nghệ chào mừng kỉ niệm 20 năm thành lập trường, đội cần chọn $3$ bạn biểu diễn mở màn. Tính xác suất để trong $3$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ và có cả khối 10 và 11.
III. Dành cho các lớp 11TH1, 11TH2, 11TĐ
Bài 6c (1 điểm). Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n^2 +n -1$, $n\in \mathbb{N^*}$.
Bài 7c (1 điểm). Câu lạc bộ Văn hóa Việt Nam của một trường có $10$ học sinh lớp 10, $11$ học sinh lớp 11 và $12$ học sinh lớp 12. Ban chủ nhiệm cần chọn $4$ bạn trong câu lạc bộ để chụp ảnh trang phục truyền thống của Việt Nam qua các thời kì. Tính xác suất để trong $4$ bạn được chọn có đủ cả ba khối.
IV. Dành cho lớp 11CT
Bài 6d (2 điểm). Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm: $x+\sqrt{4-x^2}=m$.
A. PHẦN CHUNG (8 điểm)
Bài 1 (1 điểm).
$\sin x + \sin 2x + \sin 3x =0$
$\Leftrightarrow \sin x + \sin 3x + \sin 2x =0$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x \cos x + \sin 2x =0$
$\Leftrightarrow \sin 2x \left( 2\cos x +1\right) =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x =0\\ \cos x = -\dfrac{1}{2} \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{k\pi }{2}\\ x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \end{array}\right. $ $(k\in \mathbb{Z})$
Vậy $S=\left\{ \dfrac{k\pi }{2}; \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \ |\ k\in \mathbb{Z}\right\} $
Bài 2 (1 điểm).
Gọi $T_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ không chứa $x$.
Ta có: $T_{k+1} = C_{15}^k \cdot \left( 2x^2\right) ^{15-k} \cdot \left( -\dfrac{1}{x}\right) ^k = C_{15}^k \cdot (-1)^k \cdot 2^{15-k} \cdot x^{30 – 3k}$
$T_{k+1}$ không chứa $x$ $\Leftrightarrow 30 -3k =0 \Leftrightarrow k = 10$
Vậy số hạng không chứa $x$ là: $T_{11} =C_{15}^{10}\cdot (-1)^{10} \cdot 2^5$
Bài 3 (1,5 điểm).
Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $d$ là công sai.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} u_2 + u_5 =11\\ u_6 + 2u_4 =27 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1 + d + u_1 + 4d =11\\ u_1 + 5d + 2(u_1 + 3d) =27 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u_1 + 5d =11\\ 3u_1 + 11d =27 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d=3\\ u_1 =-2 \end{array}\right. $
Vậy $u_1 = -2$ và $d=3$.
Bài 4 (1 điểm).
Xác suất để quay vào ô trúng quà: $\dfrac{10}{16}$.
Xác suất để quay vào ô may mắn: $\dfrac{6}{16}$.
Biến cố “trúng quà” và “may mắn” là độc lập.
$\Rightarrow $ Xác suất để 2 lần quay vào ô trúng quà là: $C_3^2 \cdot \dfrac{10}{16} \cdot \dfrac{10}{16} \cdot \dfrac{6}{16} = \dfrac{225}{512}$.
Bài 5 (3,5 điểm).
a) Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.
Ta có: $BM//CN$ và $BM = CN\Rightarrow BMNC$ là hình bình hành.
$\Rightarrow MN//BC$ $\Rightarrow NM$ đi qua trung điểm $O$ của $AC$.
$\triangle SAC$ có $OI$ là đường trung bình $\Rightarrow OI // SC$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SC // OI\\ OI \subset (IMN) \end{array}\right. $ $\Rightarrow SC//(IMN)$
b) Ta có: $AN//CM$
Trong mặt phẳng $(SAB)$, gọi $L=AP \cap IM$ $\Rightarrow L \in (APN) \cap (CMI)$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} AN \subset (APN)\\ CM \subset (CMI)\\ AN//CM\\ L\in (APN) \cap (CMI) \end{array}\right. $
$\Rightarrow Lx = (APN) \cap (CMI)$ sao cho $Lx // AN//CM$.
c) Gọi $T$ là trung điểm của $BC$.
Trong mặt phẳng $(SAT)$, gọi $X = IK \cap AT$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $Q = XG \cap BC$, $R= XG \cap AD$
Trong mặt phẳng $(SBC)$, gọi $U = QK \cap SB$
Từ đó suy ra thiết diện của mặt phẳng $(IGK)$ và hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $IUQR$.
B. PHẦN RIÊNG (2 điểm)
I. Dành cho các lớp 11CL, 11CH, 11CS, 11A1, 11A2
Bài 6a (1 điểm).
Ta có: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{n+2}{2(n+1)^2+1} – \dfrac{n+1}{2n^2 +1}$
$= \dfrac{(n+2)(2n^2+1) – (n+1)(2n^2 +4n + 3)}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}$
$=\dfrac{2n^3 + 4n^2 +n +2 – (2n^3 + 6n^2 +7n + 3)}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}$
$= \dfrac{-2n^2 -6n -1}{(2n^2 +1) (2n^2 + 4n +3)}<0$, $\forall n \in \mathbb{N^*}$
Vậy $(u_n)$ là dãy giảm.
Bài 7a (1 điểm).
Số cách chọn 9 học sinh từ 31 học sinh: $C_{31}^9$.
Số cách chọn 9 học sinh chỉ có 1 khối: $C_{17}^9$.
Số cách chọn 9 học sinh có đúng 2 khối: $\left\{ \begin{array}{l} \text{ Khối 10, 11 }: C_{25}^9 – C_{17}^9 \\ \\ \text{ Khối 10, 12 }: C_{23}^9 – C_{17}^9\\ \\ \text{ Khối 11, 12 }: C_{14}^9 \end{array}\right. $
Xác suất để chọn có đủ cả ba khối lớp:
$$1-\dfrac{C_{17}^9 + \left( C_{25}^9 – C_{17}^9 + C_{23}^9 – C_{17}^9 + C_{14}^9\right ) }{C_{31}^9} \approx 0,859$$
II. Dành cho các lớp 11CV, 11CA1, 11CA2, 11CA3
Bài 6b (1 điểm).
Ta có: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2(n+1) -5}{n+5} – \dfrac{2n -5}{n+4}$
$= \dfrac{(n+4)(2n-3) – (n+5)(2n-5)}{(n+5)(n+4)}$
$= \dfrac{2n^2 + 5n -12 – (2n^2 +5n -25)}{(n+5)(n+4)}$
$=\dfrac{13}{(n+5)(n+4)} >0$, $\forall n\in \mathbb{N^*}$
Vậy $(u_n)$ là dãy tăng.
Bài 7b (1 điểm).
Số cách chọn 3 bạn trong 31 bạn: $C_{31}^3 = 4495$.
Số cách chọn 1 nữ lớp 10, 1 nữ lớp 11, 1 nam lớp 11: $C_9^1 \cdot C_{12}^1 \cdot C_{10}^1 = 1080$
Số cách chọn 1 nữ lớp 10, 2 nam lớp 11: $C_9^1 \cdot C_{10}^2 = 405$
Số cách chọn 2 nữ lớp 10, 1 nam lớp 11: $C_9^2\cdot C_{10}^1 = 360$
Vậy xác suất để chọn 3 bạn có cả nam lẫn nữ và có cả lớp 10 và 11: $\dfrac{1080 + 405 + 360}{4495} = \dfrac{369}{899}$
III. Dành cho các lớp 11TH1, 11TH2, 11TĐ
Bài 6c (1 điểm).
Ta có: $u_{n+1} – u_n = 2(n+1)^2 + n – (2n^2 +n -1)$
$= 2n^2 + 4n + 2 +n – 2n^2 -n +1$
$=4n +3>0$, $\forall n \in \mathbb{N^*}$
Vậy $(u_n)$ là dãy tăng.
Bài 7c (1 điểm).
Số cách chọn 4 bạn trong 33 bạn: $C_{33}^4$
Số cách chọn 1 bạn lớp 10, 1 bạn lớp 11, 2 bạn lớp 12: $C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^2$
Số cách chọn 1 bạn lớp 10, 2 bạn lớp 11, 1 bạn lớp 12: $C_{10}^1 \cdot C_{11}^2 \cdot C_{12}^1$
Số cách chọn 2 bạn lớp 10, 1 bạn lớp 11, 1 bạn lớp 12: $C_{10}^2 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^1$
Vậy xác suất để chọn 4 bạn có đủ cả ba khối là: $$\dfrac{C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^2 + C_{10}^1 \cdot C_{11}^2 \cdot C_{12}^1 +C_{10}^2 \cdot C_{11}^1 \cdot C_{12}^1 }{C_{33}^4}=\dfrac{15}{31}$$