Tag Archives: Ứng dụng

Định lý Viete với các biểu thức nghiệm không đối xứng

Leave a reply

Tiếp theo các bài toán về tìm giá trị của tham số để nghiệm của phương trình thỏa một đẳng thức, trong bài này ta xét trường hợp mà biểu thức nghiệm không chỉ là bậc nhất, hoặc không thể tính theo tham số một cách dễ dàng.

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.

Lời giải
  •  $\Delta = (m+2)^2 – 4(m+1) = m^2 \geq 0, \forall m$. Nên phương trình luôn có nghiệm,
    khi đó phương trình có nghiệm là $1$ và $m+1$.
  • $x_1 = 1, x_2 = m+1$ ta có $3x_1x_2 -4x_1 = 2 \Leftrightarrow 3(m+1) – 4 = 2 \Leftrightarrow m = 1$.
  • $x_1 = m+1, x_2 = 1$ ta có $3x_1x_2 – 4x_1 = 2 \Leftrightarrow 3(m+1) – 4(m+1) = 2 \Leftrightarrow m = -3$.
    Vậy có hai giá trị $m$ là $1$ và $-3$.

Ta thấy trong bài toán trên, $\Delta=m^2$ có dạng là $A^2$ trong đó $A$ là một số hay một biểu thức. Khi đó ta có thể tính nghiệm theo $m$ và xét trường hợp nghiệm nào là $x_1$, nghiệm nào là $x_2$ để thế vào biểu thức nghiệm.

Tiếp theo ta xem thêm một ví dụ khác.

Ví dụ 2. (PTNK 2014) Cho phương trình $\dfrac{mx^2 + (m-3)x +2m-1}{x+3}=0$ (1)
a) Giải phương trình (1) khi $m=-1$.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho $21x_1 + 7m \left( 2+ x_2 + x_2^2 \right) = 58 $

Lời giải

a) Khi m=-1 ta có phương trình:
$\dfrac{-x^2 -4x-3}{x+3}=0 \,\, (\text{đk: } x \ne 3) \\
\Leftrightarrow -x^2 -4x-3 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=-1 \,\,(n) \\\\
x=-3 \,\, (l)
\end{array} \right. $
Vậy $S=\left\{ -1 \right\} $

b)    $\dfrac{mx^2+(m-3)x+2m-1}{x+3}=0$ (1)

  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là phương trình $mx^2+(m-3)x+2m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-3$
    $\left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0 \\\\
    \Delta = (m-3)^2 -4m(2m-1) >0 \\\\
    m(-3)^2+(m-3)(-3)+2m-1 \ne 0
    \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0\\\\
    7m^2 +2m-9 <0 \\\\
    m \ne -1
    \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m\ne 0\\\\
    m \ne -1 \\\\
    -\dfrac{9}{7} < m < 1
    \end{array} \right. $
  • Ta có $mx_2^2 + (m-3) x_2 +2m-1 =0 \Leftrightarrow m \left( 2+x_2 + x_2^2 \right) =3x_2 +1$
  • Do đó $21x_1 + 7m \left( 2+ x_2 + x_2^2 \right) =58$
    $\Leftrightarrow 21x_1 + 7(3x_2 +1 ) =58$
    $\Leftrightarrow 21 \left( x_1 +x_2 \right) =51 \\ \Leftrightarrow x_1 + x_2 =\dfrac{17}{7} $
    $\Leftrightarrow \dfrac{3-m}{m} = \dfrac{17}{7}\\ \Leftrightarrow 21-7m =17m \Leftrightarrow m=\dfrac{7}{8} \,\, (n) $
    Vậy $m=\dfrac{7}{8}$

Ta thấy trong bài toán trên, ta phải sử dụng $x_2$ là nghiệm của phương trình nên thỏa phương trình và từ đó ta mới tính được biểu thức chứa $x_2$ trong giả thiết. Mục đích là ta đưa về những dạng dễ hơn mà ta đã biết làm.

Ví dụ 3. (PTNK 2016) Cho phương trình $\dfrac{(x+1)(x^2+mx+2m+14)}{\sqrt{x}} = 0 (1)$.
Tìm $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}$

Lời giải
  • Điều kiện $x > 0$.
  • Phương trình (1) tương đương $x^2+mx+2m+14 = 0$ (2).
    Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương $\Delta = m^2-4(2m+14) > 0, S = -m > 0, P = 2m + 14 >0 $ (*)
  • Khi đó $x_1 + x_2 = -m, x_1x_2 = 2m+14$ và $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2+mx_2+2m+14 = 0$, suy ra $x_2^2+(m+1)x_2 +2m+14 = x_2$.
  • Do đó $\sqrt{x_2^2+(m+1)x_2+2m+14} = 3 – \sqrt{x_1}\\ \Leftrightarrow \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3$
    • $\Leftrightarrow x_1 + x_2 +2\sqrt{x_1x_2}=9 \\\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+14}=9+m $
    • $\Leftrightarrow 4(2m+14) = m^2+18m+81 \Leftrightarrow m^2 +10m+25 = 0 \Leftrightarrow m = -5 (n)$ vì thỏa (*).
      Kết luận $m = -5$.

Ví dụ 4: Tìm $a \geq 1$ để phương trình $ax^2 + (1-2a)x + 1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_2^2 – ax_1 = a^2-a-1$.

Giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta = (1-2a)^2-4a(1-a) = 8a^2-8a+1 > 0$.

Theo định lý Viete ta có $x_1 + x_2 = \dfrac{2a-1}{a}$, suy ra $ax_1 + ax_2 = 2a – 1$. Suy ra $ax_1 = 2a-1-ax_2$.

Kết hợp giả thiết ta có $x_2^2+ax_2-2a+1=a^2-a-1 \Leftrightarrow x_2^2+ax_2-a^2-a+2=0 \Leftrightarrow ax_2^2+a^2x_2-a^3-a^2+2a=0$ $(1)$.

Mà $x_2$ là nghiệm của phương trình nên ta có $ax_2^2+(1-2a)x_2+1-a = 0 (2)$.

Lấy $(1) – (2)$ ta có $(a^2+2a-1)x_2 = a^3+a^2-3a+1$, mà $a \geq 1$ nên $a^2 + 2a – 1 \neq 0$, suy ra $x_2 = a-1$.

Thế vào phương trình $(1)$ ta có $(a-1)^2+a(a-1)-a^2-a+2 = 0 \Leftrightarrow a=1, a=3$.

Thử lại ta nhận hai giá trị $a = 1, a=3$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm $m$ để phương trình $(x-1+m)(x+2m-3) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 – 4x_2 =1$.\ ($m=-3\pm \sqrt{21},m=1$)
Bài 2.  Cho phương trình $x^2-(m+2)x+m+1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $3x_1x_2 – 4x_1=2$.\($m=1,m=-3$)
Bài 3. Cho phương trình $x^2 – (2m-1)x + 4 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2+(2m-1)x_2 + 8-17m = 0$. ($m= 5$)
Bài 4. Cho phương trình $x^2 – (2m-1)x + m^2 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 + (2m-1)x_2 = 8$.($m=-1$)
Bài 5. Cho phương trình ${x^2} – \left( {3m – 2} \right)x + 2{m^2} – 3m + 1 = 0$ (m là tham số)
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương $x_1$, $x_2$ ($m>1$)
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa $x_1^2 + x_2 =5$ ($m=\dfrac{3+\sqrt{89}}{8},m=\sqrt{5}$)

Bài 6. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2-mx +(2m-1)(1-m)}{x-2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1^2 + 2x_2 = 13$. ($m=\dfrac{5}{2},m=-1 \pm \sqrt{5}$)
Bài 7.  Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{x^2 – 2mx -2m-1}{\sqrt{x}} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $\sqrt{x_1^2+2mx_2} + \sqrt{x_2^2+2mx_1} =2\sqrt{5}$. ($m=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4}$)
Bài 8.  Cho phương trình $\dfrac{x^2-(m+1)x +m^2 – 6)}{\sqrt{x}-2} = 0$ (1).
a) Giải phương trình khi $m = 1$. ($ x= 1+\sqrt{6}$)
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa [ \sqrt{x_2^2-mx_2+m^2-5}+\sqrt{x_1+1} = 2+\sqrt{2}] \ ($m=3$)