Với $A,B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

• $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
• $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
• $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
• $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
• $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
• $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
• $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+3)^2$
b) $(2x-1)^2$
c) $(4x-6)^2$
d) $(x-2y)^2$.

 

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x+2)^3$
b) $(2x-1)^3$
c) $(x+2y)^3$.

 

Ví dụ 3. Viết lại các biểu thức sau thành bình phương của một biểu thức:

a) $x^2+4x+4$
b) $4x^2-4x+1$
c) $4x^2-12xy+9y^2$.

 

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
b) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$
c) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) - (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

 

Bài tập cơ bản

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a)$ 2x(x-3). $
b)$ (2x-5)x.$
c)$ \dfrac{1}{2}x(-2x^2+5). $
d)$ -2x^3y(2x^2-3y+5yz). $
e)$ \dfrac{2}{3}x^2y(3xy-x^2+y). $

Bài 2. Thực hiện các phép tính

a) $ x^2 \left(5x^3 - x^2 +y\right)\dfrac{2}{3}x^2y. $
b) $ (4x^3 - 5xy +2x)\left(-\dfrac{1}{2}xy\right) .$
c) $ 3x(5x^2 - 2x- 1). $
d) $ (x^2 + 2xy -3)(-xy). $
e) $ \dfrac{1}{2}x^2y\left(2x^3 - \dfrac{2}{5}xy^2 -1\right). $

Bài 3. Thực hiện các phép tính

a) $x^2(x+1)-x(x^2-3x+1)$.
b) $y(2y^2+3y-4)-y^2(y^3-4y^2-1)$.
c) $\dfrac{1}{2}x(4x^2+6x+2)-x^2(4x-1)$.
d) $-4x^2(x+2)+x^3(x^2+4)$.

Bài 4. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $-4x^5(x^3-4x^2+7x-3)$
b) $-5x^2y^4(3x^2y^3-2x^3y^2-xy)$
c) $\dfrac{1}{2}x^3y(2x^4y^3-4xy-6)$
d) $-3x^5y^7\left( \dfrac{2}{3}x^4y-y^3+\dfrac{1}{2}\right) $
e $-4x^2+2x-4x(x-5)$.

Bài 5. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $3x^4-4x^3+2x(-x^2+3x-5)$
b) $4x(x^2-x+1)-x(3x^2-2x-5)$
c) $ \left(3x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{5}xy\right)\cdot 6xy^3. $
d) $ x(2x^2-3) - x^2 ( 5x+1) + x^2. $
e) $ 3x(x-2) - 5x(1-x) - 8(x^2-3). $

Bài 6. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.

a) $ x(x-y) + y(x+y) $ tại $ x= -6 $ và $ y =8 $.
b) $ x(x^2-y)- x^2(x+y) + y(x^2 -x) $ tại $ x = \dfrac{1}{2} $ và $ y =-100. $
c) $ x(2x- y) -2x(y-x) $ tại $ x= 5 $ và $ y = 29 $.

Bài 7. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.
a) $ xy(x-2) - x(xy+ y) $ tại $ x= 4 $ và $ y = 5. $
b) $ 5x(x^2-3) + x^2 (7-5x) - 7x^2 $ tại $ x= -5 $.
c) $ x(x-y) + y(x-y) $ tại $ x= 1,5 $ và $ y =10. $

Bài 8. Tính giá trị biểu thức

a) $A=7x(x-5)+3(x-2)$ tại $x=0$
b) $B=4x^2-2x+3x(x-5)$ tại $x=-1$
c) $C=-3x^2+4x-5(x-2)$ tại $x=1$
d) $D=4x(2x-3)-5x(x-2)$ tại $x=2$.

Bài 9. Tính (rút gọn)

a) $(3x+5)(2x-7)$
b)  $(x-5)(-x^2+x-1)$
c)  $\left( \dfrac{3}{2}x-1\right) (-4x^2+2x-6)$
d) $5x-3+(x-5)(x+4)-7$.

Bài 10. Tính (rút gọn)

a) $x^2-2x+5-(x-7)(x+2)$
b) $x(x^2-5x+2)-(x+3)(x^2-2)$
c) $5x(x-3)(x-1)-4x(x^2-2x)$
d) $4x(x^2-x+3)-(x-6)(x-5)$.

Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) $A=-3x(x-5)+3(x^2-4x)-3x+10$
b) $B=4x(x^2-7x+2)-4(x^3-7x^2+2x-5)$
c) $C=5x(x^2-x)-x^2(5x-5)-15$
d) $D=7(x^2-5x+3)-x(7x-35)-24$
e) $E=x^2-4x-x(x-4)-15$.

Bài 12.  Tìm $ x $ biết

a) $ 2x(x-3) - x(2x+3) = 18. $
b) $ x(5x^2 - 2) + 5x(1-x^2) = 3^4. $
c) $ (x-5)(x+2) + (x+1)(2-x) = 15. $
d) $ (2x-3)(x+5) - (x-2)(2x+1) =3. $

Bài 13. Tìm $x$ biết

a) $ 2x(x-5) - x(3+2x) = 26. $
b) $ 3x(12x-4) -9x(4x-3)= 30. $
c) $ x(5-2x) + 2x(x-1)= 15. $
d) $ (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x) = 81. $

Bài 14. Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a+2b)(b-2a)$
b) $(a+b)(a^2+3ab-b^2)$
c) $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
d) $(3x-2y)(3x-2y+1)$

Bài 15.Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a-2b)(a^2-2ab+4b^2)$
b) $(a+b)(b+c)(c+a)$
c) $(a+b+c)(ab+bc+ac)$.

Bài 16. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

a) $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
c) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
d) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Bài 17. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a-b)^3=a^3-2a^2b+3ab^2-b^3$
b) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
c) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
d) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Bài 18. Chứng minh rằng:

a) $ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). $
b) $ a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). $\
\textit{Áp dụng: }Tính $ a^3 + b^3 $, biết $ a\cdot b = 6 $ và $ a+b = -5. $

Bài 19. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^2. $
b) $ (2x+3)^2. $
c) $ (x+7)(x-7) $
d) $ (5x-1)(5x+1). $

Bài 20. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (x+2)^3. $
b) $ (2x-5)^3. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4). $
d) $ (1-x)(1+x+x^2). $
e) $ (2+xy)^2. $

Bài 21. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $ (5-3x)^2. $
b) $ (5-x^2)(5+x^2). $
c) $ (5x-1)^3. $
d) $ (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2). $
e) $ (x+3)(x^2 -3x +9). $

Bài 22. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=(3x-y)^2-(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)+(3+x)^2$ tại $x=1; y=2$
b) $B=(x-2)^3-(y-3)^2+(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x+y)^3$ tại $x=1; y=\dfrac{1}{2}$
c) $C=(3x+1)^3-(y-2)^2+(y-1)^3-(x+y)^2$ tại $x=\dfrac{1}{3}; y=-3$
d) $D=(2x+1)(4x^2-2x+1)-(2x-1)^3-(x-3y)^2$ tại $x=-\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{1}{3}$.

Bài 23. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $E=(5x-2y)^2-(x+3y)^3+(2x+y)^2-(x-2y)^3$ tại $x=\dfrac{1}{5};y=-\dfrac{1}{3}$
b) $F=(2x+3)(4x^2-6x+9)-(2x-1)^3+(x+5)^2$ tại $x=-3$
c) $G=(3x+2y)^3-3x(3x-2)^2+2(x-y)(2x+y)$ tại $x=\dfrac{1}{2}; y=-\dfrac{1}{3}$.

Bài 24. Cho các số $a,b$ thỏa $a+b=1, ab = - 2$. Tính

a) $P = a^2+b^2$
b) $Q = a^3+b^3$.

Bài 25. Tính giá trị của các biểu thức sau biết $x + y = 2$.

a) $A = x^2 + y^2 - x^2y - xy^2+4xy - 5 $.
b) $B = x^3 + y^3 +6xy - 3x - 3y +1$.
c) $C = x^2 - y^2 + 4y + 1$.

Bài 26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $ x $:

a) $ (2x+3)(4x^2 -6x +9) -2(4x^3 -3). $
b) $ (4x-1)^3 -(4x-3)(16x^2 +3). $

Bài 27. Tìm x, biết:

a) $ (2x+1)^2 - (3-2x)^2 +4=0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+3x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2-2x+4) -x(x^2-2) =15. $

Bài 28. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $x^2-2x+2+4y^2+4y$
b) $4x^2+y^2+12x+4y+13$
c) $5x^2+y^2+z^2+4xy-2xz$
d) $x^2+4y^2+4x-4y+5$.

Bài 29. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $a^2-4ab+5b^2-4bc+4c^2$
b) $4x^2+9y^2-4x+6y+2$
c) $4y^2+12y+25+8x+x^2$
d) $x^2+20+9y^2+8x-12y$
e) $4y^2-12x+12y+9x^2+13$.

Bài 30. Tìm $ x $, biết:

a) $ (2x+1)^2 -(3-2x)^2 +4 =0. $
b) $ (x-1)^3 +(2-x)(4+2x+x^2) +3x(x+2)=17. $
c) $ (x+2)(x^2 -2x+4) -x(x^2-2)=15. $

Bài 31. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $x^2-2x+5+y^2-4y=0$
b) $4x^2+4x-6y+9y^2+2=0$
c) $ x^2+y^2+2x-6y +10 =0 $
d) $ 4x^2 +y^2 -4x +10y +26 =0 $.

Bài 32. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $9x^2+12x+4y^2+8y+8=0$
b) $y^2+2y+5-12x+9x^2=0$
c) $16x^2+5+8x-4y-y^2=0$
d) $4y^2-12x+12y+9x^2+13=0$.

Bài 33. Tìm $x$  và  $y$, biết:

a) $4x^2+25-12x-8y+y^2=0$
b) $4y^2+12y+25+8x+x^2=0$
c) $x^2+20+9y^2+8x-12y=0$.

Bài 34. Chứng tỏ rằng:

a) $ x^2 -6x +10> 0 $ với mọi $ x $.
b) $ 4x-x^2 -5 < 0 $ với mọi $ x $.

Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ M= x^2 + 4x +5. $
b) $ N = 9x^2 - 6x+6. $
c) $ P = x^2 -2x +5. $
d) $ Q = 2x^2 -6x. $

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $ K = x^2 +y^2 -x +6y +10. $
b) $ A= x^2 - 6x+11. $
c) $ B = x^2 -20x +101. $
d) $ C = x^2 -2x + y^2 + 4y +8. $

Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ A= 5-2x-x^2. $
b) $ B= 5 + 6x-9x^2. $
c) $ C= 4x -x^2 +3. $
d) $ D = x-x^2. $

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $ E = 2x - 2x^2 -5. $
b) $ G = 5x-x^2. $
c) $ H = -x^2 + 6x -11. $
d) $ K = 5-8x -x^2 $.