Quy tắc cộng, quy tắc nhân

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có $n$ cách thực hiện phương án A và $m$ cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n+m$ cách.
Tổng quát: “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện phương án $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện phương án $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện phương án $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1+n_2+…+n_k$ cách.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 8 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh lá. Bạn Khoa muốn chọn một viên bi để chơi, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Để chọn 1 viên bi ta có thể chọn:

Nên tổng cộng có: 8+5+6=19 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo $n$ cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo $m$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $m.n$ cách.
Tổng quát: “Giả sử một công việc nào đó gồm $k$ công đoạn $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện công đoạn $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện công đoạn $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện công đoạn $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2…n_k$ cách.

Ví dụ 2. Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam nữ?

Để chọn 1 đôi nam nữ, ta phải chọn ra 1 bạn nữ, rồi chọn 1 bạn nam.

Nên có 6.8=48 cách chọn.

II. Bài tập

1.Từ tập $A=\left{2,3,4,5,6\right}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:

a) Bắt đầu bằng số 3.

b) Không bắt đầu bằng số 2.

c) Chia hết cho 5.

d) Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.

a) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

b) Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

c) Có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

Có hai dãy ghế, mỗi dạy có 5 ghế hướng vào nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam, 5 bạn nữ ngồi vào đó thoả:

a) Sắp xếp bất kì.

b) Đối diện một bạn nam và một bạn nữ.

Có bao nhiêu bộ số $(a,b, c)$ thoả $a, b, c \in {1, 2, …, 50}$ và $a<b, a<c$.
Từ tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ có thể lập được bao nhiêu số không lớn hơn 3000 và có các chữ số khác nhau.

Toán Việt