1.Định nghĩa

Cho tập hợp A có $n(n\ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một \textbf{hoán vị } các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).

Ví dụ 1. Các hoán vị của tập $A=1,2,3$ là $(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$.

2.Tính chất

Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là $P_n=n!=n(n-1)(n-2)\dots 2.1$
Quy ước: $0!=1$

Ví dụ 2. Có 6 con tem khác nhau cần dán vào 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

Lời giải. Mỗi cách dán 6 con tem và 6 bì thư là một hoán vị của 6 phần tử, do đó số cách dán là số hoán vị của 6 phần tử: $P_6=6!=720$ cách.

Ví dụ 3. Có 5 sách văn và 7 sách toán xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a. Xếp bất kì.

b. Các sách văn kế nhau, các sách toán kề nhau.

Lời giải.

a. Có 7 + 5 = 12 cuốn sách. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 12 phần tử nên số cách xếp là số hoán vị của 12 phần tử. Do đó có $12!$ cách.

b. 7 sách toán xếp kề nhau có $7!$ cách.

5 sách văn kề nhau có $5!$ cách.

Xếp bộ sách toán và bộ sách văn có 2 cách.

Do đó số cách xếp thỏa đề bài là $2.7!5!$ cách.

Bài tập. 

1. Có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách này lên kệ dài sao cho:
   a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
   b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
2.  Xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết:
   a. Xếp tùy ý.
   b. Nam 1 dãy và nữ 1 dãy
3.  Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiều số
   a. Có 5 chữ số khác nhau.
   b. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.