1.Định nghĩa
Cho tập hợp A có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một \textbf{hoán vị } các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
Ví dụ 1. Các hoán vị của tập $A = {1, 2, 3}$ là $(1, 2, 3),(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$.
2.Tính chất
Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là $P_n=n!=n(n-1)(n-2)…2.1$
Quy ước: $0!=1$
Ví dụ 2. Có 6 con tem khác nhau cần dán vào 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
Lời giải. Mỗi cách dán 6 con tem và 6 bì thư là một hoán vị của 6 phần tử, do đó số cách dán là số hoán vị của 6 phần tử: $P_6 = 6! = 720$ cách.
Ví dụ 3. Có 5 sách văn và 7 sách toán xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp thỏa:
a. Xếp bất kì.
b. Các sách văn kế nhau, các sách toán kề nhau.
Lời giải.
a. Có 7 + 5 = 12 cuốn sách. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 12 phần tử nên số cách xếp là số hoán vị của 12 phần tử. Do đó có $12!$ cách.
b. 7 sách toán xếp kề nhau có $7!$ cách.
5 sách văn kề nhau có $5!$ cách.
Xếp bộ sách toán và bộ sách văn có 2 cách.
Do đó số cách xếp thỏa đề bài là $2.7!5!$ cách.
Bài tập.
- Có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý và 6 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách này lên kệ dài sao cho:
a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau? - Xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết:
a. Xếp tùy ý.
b. Nam 1 dãy và nữ 1 dãy - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiều số
a. Có 5 chữ số khác nhau.
b. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.