Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Với $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$
$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$
$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$
$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$
$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$
$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x + 3)^{2}$
b) $(2 x - 1)^{2}$
c) $(4 x - 6)^{2}$
d) $(x - 2 y)^{2}$ .

Giải

a) $(x + 3)^{2}$

$= x^{2} + 2. x .3 + 3^{2}$

$= x^{2} + 6 x + 9$
b) $(2 x - 1)^{2}$

$= (2 x)^{2} - 2.2 x .1 + 1^{2}$

$= 4 x^{2} - 4 x + 1$
c) $(4 x - 6)^{2}$

$= (4 x)^{2} - 2.4 x .6 + 6^{2}$

$= 16 x^{2} - 48 x + 36$
d) $(x - 2 y)^{2}$

$= x^{2} - 2. x .2 y + (2 y)^{2}$

$= x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ .

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x + 2)^{3}$
b) $(2 x - 1)^{3}$
c) $(x + 2 y)^{3}$ .

Giải

a) $(x + 2)^{3}$

$= x^{3} + 3 x^{2} .2 + 3 x {.2}^{2} + 2^{3}$

$= x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8.$
b) $(2 x - 1)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3. (2 x)^{2} .1 + 3.2 x {.1}^{2} - 1^{3}$

$= 8 x^{2} - 12 x^{2} + 6 x - 1$
c) $(x + 2 y)^{3}$

$= x^{3} + 3 x^{2} .2 y + 3 x . (2 y)^{2} + (2 y)^{3}$

$= x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ .

Ví dụ 3. Viết lại các biểu thức sau thành bình phương của một biểu thức:

a) $x^{2} + 4 x + 4$
b) $4 x^{2} - 4 x + 1$
c) $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$ .

Giải

a) $x^{2} + 4 x + 4$

$= x^{2} + 2.2 x + 2^{2}$

$= (x + 2)^{2}$
b) $4 x^{2} - 4 x + 1$

$= (2 x)^{2} - 2.2 x .1 + 1^{2}$

$= (2 x - 1)^{2}$
c) $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$

$= (2 x)^{-} 2.2 x .3 y + (3 y)^{2}$

$= (2 x - 3 y)^{2}$ .

Ví dụ 4. Viết lại các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một biểu thức:

a) $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
b) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
c) $8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$ .

Giải

a) $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

$= x^{3} - 3 x^{2} .1 + 3 x {.1}^{2} - 1^{3}$

$= (x - 1)^{3}$
b) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

$= x^{3} + 3. x^{2} .2 + 3. x {.2}^{2} + 2^{3}$

$= (x + 2)^{3}$
c) $8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3. (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= (2 x - y)^{3} .$

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2})$
b) $(3 x + 5 y) (9 x^{2} - 15 x y + 25 y^{2})$
c) $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) - (2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})$ .

Giải

a) $(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2})$

$= (x - 2 y) [x^{2} + x .2 y + (2 y)^{2}]$

$= x^{3} - 8 y^{3} .$

b) $(3 x + 5 y) (9 x^{2} - 15 x y + 25 y^{2})$

$= (3 x + 5 y) [(3 x)^{2} - 3 x .5 y + (5 y)^{2}]$

$= 27 x^{3} + 125 y^{3}$
c) $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) - (2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})$

$= (2 x - y) [(2 x)^{2} + 2 x y + y^{2}] - (2 x + y) [(2 x)^{2} - 2 x y + y^{2}]$

$= 8 x^{3} - y^{3} - (8 x^{3} + y^{3})$

$= 0$ .

Bài tập cơ bản

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a) $2 x (x - 3) .$
b) $(2 x - 5) x .$
c) $\frac{1}{2} x (- 2 x^{2} + 5) .$
d) $- 2 x^{3} y (2 x^{2} - 3 y + 5 y z) .$
e) $\frac{2}{3} x^{2} y (3 x y - x^{2} + y) .$

Bài 2. Thực hiện các phép tính

a) $x^{2} (5 x^{3} - x^{2} + y) \frac{2}{3} x^{2} y .$
b) $(4 x^{3} - 5 x y + 2 x) (- \frac{1}{2} x y) .$
c) $3 x (5 x^{2} - 2 x - 1) .$
d) $(x^{2} + 2 x y - 3) (- x y) .$
e) $\frac{1}{2} x^{2} y (2 x^{3} - \frac{2}{5} x y^{2} - 1) .$

Bài 3. Thực hiện các phép tính

a) $x^{2} (x + 1) - x (x^{2} - 3 x + 1)$ .
b) $y (2 y^{2} + 3 y - 4) - y^{2} (y^{3} - 4 y^{2} - 1)$ .
c) $\frac{1}{2} x (4 x^{2} + 6 x + 2) - x^{2} (4 x - 1)$ .
d) $- 4 x^{2} (x + 2) + x^{3} (x^{2} + 4)$ .

Bài 4. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $- 4 x^{5} (x^{3} - 4 x^{2} + 7 x - 3)$
b) $- 5 x^{2} y^{4} (3 x^{2} y^{3} - 2 x^{3} y^{2} - x y)$
c) $\frac{1}{2} x^{3} y (2 x^{4} y^{3} - 4 x y - 6)$
d) $- 3 x^{5} y^{7} (\frac{2}{3} x^{4} y - y^{3} + \frac{1}{2})$
e $- 4 x^{2} + 2 x - 4 x (x - 5)$ .

Bài 5. Tính (Rút gọn nếu có thể)

a) $3 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x (- x^{2} + 3 x - 5)$
b) $4 x (x^{2} - x + 1) - x (3 x^{2} - 2 x - 5)$
c) $(3 x^{3} y - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{5} x y) \cdot 6 x y^{3} .$
d) $x (2 x^{2} - 3) - x^{2} (5 x + 1) + x^{2} .$
e) $3 x (x - 2) - 5 x (1 - x) - 8 (x^{2} - 3) .$

Bài 6. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.

a) $x (x - y) + y (x + y)$ tại $x = - 6$ và $y = 8$ .
b) $x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + y (x^{2} - x)$ tại $x = \frac{1}{2}$ và $y = - 100.$
c) $x (2 x - y) - 2 x (y - x)$ tại $x = 5$ và $y = 29$ .

Bài 7. Thực hiện phép nhân, rút gọn rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau.
a) $x y (x - 2) - x (x y + y)$ tại $x = 4$ và $y = 5.$
b) $5 x (x^{2} - 3) + x^{2} (7 - 5 x) - 7 x^{2}$ tại $x = - 5$ .
c) $x (x - y) + y (x - y)$ tại $x = 1, 5$ và $y = 10.$

Bài 8. Tính giá trị biểu thức

a) $A = 7 x (x - 5) + 3 (x - 2)$ tại $x = 0$
b) $B = 4 x^{2} - 2 x + 3 x (x - 5)$ tại $x = - 1$
c) $C = - 3 x^{2} + 4 x - 5 (x - 2)$ tại $x = 1$
d) $D = 4 x (2 x - 3) - 5 x (x - 2)$ tại $x = 2$ .

Bài 9. Tính (rút gọn)

a) $(3 x + 5) (2 x - 7)$
b) $(x - 5) (- x^{2} + x - 1)$
c) $(\frac{3}{2} x - 1) (- 4 x^{2} + 2 x - 6)$
d) $5 x - 3 + (x - 5) (x + 4) - 7$ .

Bài 10. Tính (rút gọn)

a) $x^{2} - 2 x + 5 - (x - 7) (x + 2)$
b) $x (x^{2} - 5 x + 2) - (x + 3) (x^{2} - 2)$
c) $5 x (x - 3) (x - 1) - 4 x (x^{2} - 2 x)$
d) $4 x (x^{2} - x + 3) - (x - 6) (x - 5)$ .

Bài 11. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) $A = - 3 x (x - 5) + 3 (x^{2} - 4 x) - 3 x + 10$
b) $B = 4 x (x^{2} - 7 x + 2) - 4 (x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 5)$
c) $C = 5 x (x^{2} - x) - x^{2} (5 x - 5) - 15$
d) $D = 7 (x^{2} - 5 x + 3) - x (7 x - 35) - 24$
e) $E = x^{2} - 4 x - x (x - 4) - 15$ .

Bài 12. Tìm $x$ biết

a) $2 x (x - 3) - x (2 x + 3) = 18.$
b) $x (5 x^{2} - 2) + 5 x (1 - x^{2}) = 3^{4} .$
c) $(x - 5) (x + 2) + (x + 1) (2 - x) = 15.$
d) $(2 x - 3) (x + 5) - (x - 2) (2 x + 1) = 3.$

Bài 13. Tìm $x$ biết

a) $2 x (x - 5) - x (3 + 2 x) = 26.$
b) $3 x (12 x - 4) - 9 x (4 x - 3) = 30.$
c) $x (5 - 2 x) + 2 x (x - 1) = 15.$
d) $(12 x - 5) (4 x - 1) + (3 x - 7) (1 - 16 x) = 81.$

Bài 14. Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a + 2 b) (b - 2 a)$
b) $(a + b) (a^{2} + 3 a b - b^{2})$
c) $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$
d) $(3 x - 2 y) (3 x - 2 y + 1)$

Bài 15.Thực hiện các phép nhân đa thức sau:

a) $(a - 2 b) (a^{2} - 2 a b + 4 b^{2})$
b) $(a + b) (b + c) (c + a)$
c) $(a + b + c) (a b + b c + a c)$ .

Bài 16. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

a) $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
b) $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
c) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
d) $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Bài 17. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $(a - b)^{3} = a^{3} - 2 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
b) $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
c) $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$
d) $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$ .

Bài 18. Chứng minh rằng:

a) $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b) .$
b) $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b) .$ \
\textit{Áp dụng: }Tính $a^{3} + b^{3}$ , biết $a \cdot b = 6$ và $a + b = - 5.$

Bài 19. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x + 2)^{2} .$
b) $(2 x + 3)^{2} .$
c) $(x + 7) (x - 7)$
d) $(5 x - 1) (5 x + 1) .$

Bài 20. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $(x + 2)^{3} .$
b) $(2 x - 5)^{3} .$
c) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) .$
d) $(1 - x) (1 + x + x^{2}) .$
e) $(2 + x y)^{2} .$

Bài 21. Khai triển, hoặc rút gọn các biểu thức sau:

a) $(5 - 3 x)^{2} .$
b) $(5 - x^{2}) (5 + x^{2}) .$
c) $(5 x - 1)^{3} .$
d) $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) .$
e) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) .$

Bài 22. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = (3 x - y)^{2} - (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) + (3 + x)^{2}$ tại $x = 1; y = 2$
b) $B = (x - 2)^{3} - (y - 3)^{2} + (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) - (x + y)^{3}$ tại $x = 1; y = \frac{1}{2}$
c) $C = (3 x + 1)^{3} - (y - 2)^{2} + (y - 1)^{3} - (x + y)^{2}$ tại $x = \frac{1}{3}; y = - 3$
d) $D = (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) - (2 x - 1)^{3} - (x - 3 y)^{2}$ tại $x = - \frac{1}{2}; y = \frac{1}{3}$ .

Bài 23. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $E = (5 x - 2 y)^{2} - (x + 3 y)^{3} + (2 x + y)^{2} - (x - 2 y)^{3}$ tại $x = \frac{1}{5}; y = - \frac{1}{3}$
b) $F = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) - (2 x - 1)^{3} + (x + 5)^{2}$ tại $x = - 3$
c) $G = (3 x + 2 y)^{3} - 3 x (3 x - 2)^{2} + 2 (x - y) (2 x + y)$ tại $x = \frac{1}{2}; y = - \frac{1}{3}$ .

Bài 24. Cho các số $a, b$ thỏa $a + b = 1, a b = - 2$ . Tính

a) $P = a^{2} + b^{2}$
b) $Q = a^{3} + b^{3}$ .

Bài 25. Tính giá trị của các biểu thức sau biết $x + y = 2$ .

a) $A = x^{2} + y^{2} - x^{2} y - x y^{2} + 4 x y - 5$ .
b) $B = x^{3} + y^{3} + 6 x y - 3 x - 3 y + 1$ .
c) $C = x^{2} - y^{2} + 4 y + 1$ .

Bài 26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$ :

a) $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) - 2 (4 x^{3} - 3) .$
b) $(4 x - 1)^{3} - (4 x - 3) (16 x^{2} + 3) .$

Bài 27. Tìm x, biết:

a) $(2 x + 1)^{2} - (3 - 2 x)^{2} + 4 = 0.$
b) $(x - 1)^{3} + (2 - x) (4 + 3 x + x^{2}) + 3 x (x + 2) = 17.$
c) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x (x^{2} - 2) = 15.$

Bài 28. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $x^{2} - 2 x + 2 + 4 y^{2} + 4 y$
b) $4 x^{2} + y^{2} + 12 x + 4 y + 13$
c) $5 x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x y - 2 x z$
d) $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 4 y + 5$ .

Bài 29. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương

a) $a^{2} - 4 a b + 5 b^{2} - 4 b c + 4 c^{2}$
b) $4 x^{2} + 9 y^{2} - 4 x + 6 y + 2$
c) $4 y^{2} + 12 y + 25 + 8 x + x^{2}$
d) $x^{2} + 20 + 9 y^{2} + 8 x - 12 y$
e) $4 y^{2} - 12 x + 12 y + 9 x^{2} + 13$ .

Bài 30. Tìm $x$ , biết:

a) $(2 x + 1)^{2} - (3 - 2 x)^{2} + 4 = 0.$
b) $(x - 1)^{3} + (2 - x) (4 + 2 x + x^{2}) + 3 x (x + 2) = 17.$
c) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x (x^{2} - 2) = 15.$

Bài 31. Tìm $x$ và $y$ , biết:

a) $x^{2} - 2 x + 5 + y^{2} - 4 y = 0$
b) $4 x^{2} + 4 x - 6 y + 9 y^{2} + 2 = 0$
c) $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 10 = 0$
d) $4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 26 = 0$ .

Bài 32. Tìm $x$ và $y$ , biết:

a) $9 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} + 8 y + 8 = 0$
b) $y^{2} + 2 y + 5 - 12 x + 9 x^{2} = 0$
c) $16 x^{2} + 5 + 8 x - 4 y - y^{2} = 0$
d) $4 y^{2} - 12 x + 12 y + 9 x^{2} + 13 = 0$ .

Bài 33. Tìm $x$ và $y$ , biết:

a) $4 x^{2} + 25 - 12 x - 8 y + y^{2} = 0$
b) $4 y^{2} + 12 y + 25 + 8 x + x^{2} = 0$
c) $x^{2} + 20 + 9 y^{2} + 8 x - 12 y = 0$ .

Bài 34. Chứng tỏ rằng:

a) $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ với mọi $x$ .
b) $4 x - x^{2} - 5 < 0$ với mọi $x$ .

Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $M = x^{2} + 4 x + 5.$
b) $N = 9 x^{2} - 6 x + 6.$
c) $P = x^{2} - 2 x + 5.$
d) $Q = 2 x^{2} - 6 x .$

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $K = x^{2} + y^{2} - x + 6 y + 10.$
b) $A = x^{2} - 6 x + 11.$
c) $B = x^{2} - 20 x + 101.$
d) $C = x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 8.$

Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $A = 5 - 2 x - x^{2} .$
b) $B = 5 + 6 x - 9 x^{2} .$
c) $C = 4 x - x^{2} + 3.$
d) $D = x - x^{2} .$

Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $E = 2 x - 2 x^{2} - 5.$
b) $G = 5 x - x^{2} .$
c) $H = - x^{2} + 6 x - 11.$
d) $K = 5 - 8 x - x^{2}$ .

Toán Việt

Chia sẻ và học hỏi

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Like this:

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Like this:

Leave a Reply Cancel reply