Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.
Ví dụ 1:
a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.
b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.
c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.
Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.
Kí hiệu $x=\sqrt a$.
Ví dụ 2:
a) $\sqrt 4=2$.
b) $\sqrt {36}=6$.
Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:
- $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
- Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.
Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$
Ví dụ 3: So sánh các số:
a) $1$ và $\sqrt 2$.
b) $2$ và $\sqrt 5$.
c) $17$ và $\sqrt {290}$.
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:
a) $\sqrt x <2$.
b) $2<\sqrt x <4$.
Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.
Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.
Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.
Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.
a) $\sqrt {2x-1}$.
b) $\sqrt{4-3x}$.
c)$\sqrt {x^2}$.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.
a) $\sqrt {x^2+4}$.
b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.
c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.
Bài tập:
Bài 1: Tính :
a) $\sqrt {81}$.
b) $\sqrt {225}$.
c) $\sqrt {0,49}$.
d) $\sqrt {12^2+5^2}$.
e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.
Bài 2: So sánh các căn sau:
a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.
b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.
c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.
d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.
e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.
Bài 3: Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:
a) $\sqrt {3x-2}$.
b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.
c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.
d) $\sqrt {x^2-4}$.
Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:
a) $\sqrt x=3$.
b) $\sqrt x +2=7$.
c) $\sqrt {x+1} -1=4$.
d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.