Category Archives: Đề thi

Đề thi thử vào lớp 10 PTNK – Đề toán chung – Lần 2

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 PTN – NĂM 2020

Môn: Toán chung

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT

Bài 1. (1.5 điểm)

a) Cho $a > 0, b \geq 0$ và $a \neq b$.

Đặt $A = \dfrac{\sqrt{a}}{a+b-2\sqrt{ab}} – \dfrac{\sqrt{b}}{a-b} ; \ B = a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}-a^2\sqrt{b}-b^2\sqrt{a}$.

Biết $AB = \dfrac{9}{2}ab$. Tính $\dfrac{b}{a}$.

b) Cho $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$. Chứng minh $x^4-10x^2+1 = 0$.

Bài 2. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $x+\dfrac{2x-6}{\sqrt{x-3}} = 6$
b) $\left\{\begin{array}{c} x(|x|+y) = 5|x|\\x^2+y^2+3xy=55 \end{array} \right.$

Bài 3. (1.5 điểm) Cho phương trình $\dfrac{(x-2)(x^2 – 4x – m)}{\sqrt{x}} = 0$.
a) Giải phương trình khi $m = 1$.
b) Tìm $m$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt $x_1, x_2, x_3$.
c) Với điều kiện câu b, giả sử $x_1 < x_2 < x_3$.Tìm $m$ để $x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 = 18$.

Bài 4. (2 điểm)

a) Thầy Vũ có một mảnh vườn hình thoi, độ dài đường chéo nhỏ bằng độ dài cạnh và bằng 30m. Người ta làm một con đường song song với đường chéo nhỏ ngang qua ngang mảnh đất và diện tích còn lại của mảnh đất là hai tam giác đều như hình vẽ có cạnh là 20m. Hỏi diện tích đất được đền bù so với phần còn lại thì nhiều hơn hay ít hơn? Giá mỗi mét vuông đất được đền bù là 1 triệu đồng và giá mỗi mét vuông đất còn lại là 10 triệu đồng và thầy Vũ muốn bán luôn để mua một căn chung cư 4 tỷ đồng thì có đủ tiền không? Tại sao?

b) Bình và An cùng chạy một đoạn đường dài 10 km. Họ xuất phát cùng một nơi, chạy lên ngọn đồi dài 5 km và trở lại điểm xuất phát bằng cùng một tuyến đường. An chạy trước Bình 10 phút và chạy lên đồi với vận tốc 15 km/h rồi xuống đồi với vận tốc 20 km/h. Còn Bình lên đồi với vận tốc 16 km/h rồi xuống đồi với vận tốc 22 km/h. Hỏi lúc họ gặp nhau theo hướng ngược lại thì họ cách đỉnh đồi bao xa?

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = \angle ACB = 30^\circ$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $O$ cắt nhau tại $D$. $CD$ cắt $OA$ tại $E$ và cắt $(O)$ tại $F$ khác $C$.

a) Tính $AB, AD$ theo $R$.

b) Tính $CD$ và chứng minh $OBFE$ nội tiếp.

c) $OA$ cắt $BD$ tại $K$. Tính góc $\angle DFK$ và chứng minh $KF$ qua trung điểm cạnh $AB$.

HẾT

ĐÁP ÁN -> PTNK_KC_2020_MOCK2

Bài làm gửi về email:

hocthemstar20192020@gmail.com
Bản scan -> pdf (không để các file hình rời rạc)
Ghi đầy đủ họ tên lớp, trường.
Đáp án sẽ post sau một thời gian.
Bạn nào nộp bài trễ vẫn được nhận nhé.

Đề thi thử Tuyển sinh 10 TPHCM

Leave a reply

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH 10 LẦN 2

Môn: Toán (Không chuyên)

Thời gian: 120 phút

Bài 1. (1 điểm) Cho parabol $(P):y=kx^2$ $(k\in \mathbb{R})$ và đường thẳng $(d):y=ax-6$ $(a \in \mathbb{R})$

a) Tìm $k$ và $a$ biết $(P)$ và $(d)$ cùng đi qua điểm $A$ có tọa độ $(2;4)$.

Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm $B$ còn lại của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.

Bài 2. (1 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left( 1+ \dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \right) $

b) $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} : \left( \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} -\dfrac{2}{\sqrt{6}}+ \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \right) $

Bài 3. (1 điểm) Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+1 =0$ (1)

a) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có nghiệm kép. Tìm nghiệm của $(1)$ lúc đó.

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

Với $m=2$, không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: $P=\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$

Bài 4. (1 điểm) Công ty đồ chơi Superview Odoriko vừa cho ra đời một đồ chơi tàu điện điều khiển từ xa. Trong điều kiện phòng thí nghiệm, quãng đường $s$ (cm) đi được của đoàn tàu đồ chơi là một hàm số theo thời gian $t$ (giây), hàm số đó là $s=5t+11$. Trong điều kiện thực tế, hàm số biểu diễn $s$ theo $t$ là một hàm số bậc nhất và người ta thấy rằng nếu đồ chơi di chuyển được 15 cm thì mất 3 giây và có thể đi được quãng đường 64 cm trong 10 giây.

a) Trong điều kiện thí nghiệm, sau bao nhiêu giây thì tàu đồ chơi này di chuyển được quãng đường là $66 \, cm$?

b) Ba bé Bình mua đồ chơi này về cho bé chơi, ba ngồi cách bé $3 \,m$. Hỏi cần bao nhiêu giây đề chiếc tàu đồ chơi này di chuyển từ chỗ bé đến ba?

Bài 5. (1 điểm) Một bè $A$ ở giữa hồ nước, anh Phúc muốn ra chiếc bè này thì cần phải dùng hai chiếc thuyền $B$ hoặc $C$ đang ở bờ. Biết rằng 2 chiếc thuyền $B$ và $C$ cách nhau 450 mét. Biết rằng góc nhìn từ $B$ và $C$ đến chiếc bè $A$ theo thứ tự vào khoảng $40^\circ$ và $35^\circ$. Lượng dầu của thuyền $B$ chạy được khoảng 250 mét và lượng dầu của thuyền $C$ chạy được khoảng 300 mét. Vậy anh Phúc nên lấy thuyền nào để đến bè $A$?

Bài 6. (1 điểm) Một cửa hàng giày dép bán đồng giá 675 000 đồng/đôi. Nhưng vì ảnh hưởng của dịch cúm Covid 19 nên khách đã đến mua ít lại. Chủ cửa hàng đã giảm giá hai lần và mỗi lần là $x\%$ so với giá tại thời điểm giảm nên đã có giá mới là 546 750 đồng.

a) Hãy tìm $x$.

b) Biết rằng giá nhập về một đôi giày là 565 000 đồng và cửa hàng đã bán được 100 đôi sau khi giảm lần đầu và 150 đôi sau khi giảm lần thứ hai. Vậy cửa hàng này đã lời hay lỗ là bao nhiêu tiền?

Bài 7. (1 điểm) Để tạo một mô hình kim tự tháp có hình chóp tứ giác đều (là hình có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác cân có chung đỉnh), bạn An đã cắt tấm bìa ra thành hình bên và dán đỉnh lại. Hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp và thể tích hình chóp được tạo thành. Biết rằng đáy hình vuông có cạnh là 5 cm, chiều cao của các tam giác cân hạ từ đỉnh cân là 6 cm, thể tích hình chóp là $V=\dfrac{1}{3}Sh$ với $S$ là diện tích đáy hình vuông và $h$ là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến đáy $ABCD$ và bằng $SH$ với $H$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Bài 8. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ và nội tiếp đường tròn $\left( O;\, R\right) $. Vẽ đường kính $AD$. Tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$ cắt $AC$ tại $E$ và $BC$ tại $F$.

a) Chứng minh $AC\cdot AE=4R^2$ và $FB\cdot FC=FD^2$.

b) Vẽ $DH\bot OF$ với $H$ thuộc $OF$. Chứng minh $OBCH$ nội tiếp và $\angle BHC=2\angle BAC$.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AOH$ và $FEC$ cùng cắt nhau tại một điểm $P$ thuộc $(O)$ và $A$, $P$, $F$ thẳng hàng.

Đề thi thử THPTQG 2020: Lần thứ 3

Leave a reply

[WpProQuiz 23]

Đề thi học sinh giỏi Star Education: Lớp 8

Leave a reply

Đề thi kiểm tra chất lượng lớp 8 Chuyên toán.

Thời gian làm bài: 150 phút

Nộp bài vào: hocthemstar20192020@gmail.com

Đề bài

Bài 1. (2 điểm) Cho các số $ a,b,c $ khác 0 thỏa $ \dfrac{a+b-c}{ab}-\dfrac{b+c-a}{bc}-\dfrac{a+c-b}{ac}=0. $
Chứng minh rằng trong các số $a, b, c$ có một số bằng tổng hai số còn lại.

Bài 2. (3 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $(x+1)^3 + (3x- 4)^3 +(3-4x)^3 = 0$.

b) $ x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3 $.

c) $\dfrac{3x+4}{x-1} \leq 2$.

Bài 3. (4 điểm) Giải các bài toán sau:

a) Cho $a, b$ không âm và thỏa $a+b = 2$. Chứng minh $ab \leq 1$ và $a^2b^2(a^2+b^2) \leq 2$.

b) Cho $a> 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = a^2 -6(a+\dfrac{4}{a}) + \dfrac{16}{a^2} + 2020$.

Bài 4. (3 điểm) Cho $n$ là số tự nhiên.

a) Chứng minh rằng nếu $n$ lẻ thì $ n^n-n $ chia hết cho 24.

b) Chứng minh phân số $ \dfrac{21n+17}{14n+3} $ không là số nguyên với mọi $n$.

c) Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $2^{2n} + 2^n + 1$ chia hết cho 7.

Bài 5. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $BC = 2a$ cố định, $A$ thay đổi sao cho $\angle BAC = 60^\circ$. Các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) (2 điểm) Chứng minh tam giác $MDE$ đều và tính diện tích tam giác theo $a$.

b) (2 điểm) Đặt $x = AB, y = AC$. Chứng minh $AD = \dfrac{1}{2}x$ và $x^2 + y^2 – xy = 4a^2$. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ theo $a$.

c) (1 điểm) Vẽ $HK \bot AM$, $K$ thuộc $AM$. Tính góc $\angle DKE$.

Bài 6. (3 điểm) Có 68 bạn tham gia một kì thi toán của trung tâm STAR EDU, đề bài gồm 6 câu hỏi, được đánh số từ 1 đến 6. Nếu làm đúng câu số $n$ thì được $n$ điểm, ngược lại thì bị trừ $n$ điểm.

a) Chứng minh rằng có ít nhất hai ngườicó kết quả làm bài trùng nhau.

b) Chứng minh rằng có ít nhất bốn người có số điểm bằng nhau.

Hết

Đáp án

Bài 1. Qui đồng ta có $c(a+b-c) – a(b+c-a) – b(a+c-b) = 0$

$a^2+b^2-c^2-2ab =0$

$(a-b)^2-c^2=0$

$(a-b-c)(a-b+c)=0$

$a=b+c$ hoặc $b=a+c$, tao có điều cần chứng minh.

Bài 2.

a) Đặt $a = x+1, b = 3x-4, c = 3-4x$ thì $a+b+c=0$

Ta có $a^3+b^3+c^3=3abc$

Phương trình đương đương $x+1 = 0$ hoặc $3x-4= 0$ hoặc $3-4x = 0$.

Giải ra được tập nghiệm $S = \{-1, \dfrac{4}{3}, \dfrac{3}{4} \}$.

b) Ta có $x^2 + \dfrac{x^2}{(x+1)^2} – \dfrac{2x^2}{x+1} + \dfrac{2x^2}{x+1}-3=0$

$(x-\dfrac{x}{x+1})^2 +\dfrac{2x^2}{x+1} – 3 = 0$

$(\dfrac{x^2}{x+1})^2+\dfrac{2x^2}{x+1}-3=0$.

Đặt $t = \dfrac{x^2}{x+1}$. Ta có $t^2 +2t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1, t = -3$.

Khi $t = 1$ ta có $x^2 -x-1 = 0$ , giải ra $x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Khi $t = -3$ ta có $x^2+3x+3 = 0$ (vô nghiệm).

c) $\dfrac{3x+4}{x-1} \leq 2$

$\dfrac{3x+4}{x-1}-2 \leq 0$

$\dfrac{x+6}{x-1} \leq 0$

$x+6 \leq 0, x-1 > 0$ hoặc $ x+6 \geq 0, x-1< 0$

$x \leq -6, x > 1$ (vô nghiệm) hoặc $ -6\leq x < 1$.

Kết luận: $-6 \leq x < 1$.

Bài 3.

a) $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = 1$. Khi đó $a^2b^2 \leq ab$.

$a^2b^2(a^2+b^2) \leq ab(4-2ab) = -2(ab-1)^2+2 \leq 2$.

b) Đặt $t = a + \dfrac{4}{a}$ ta có $t \geq 4$ vì $a + \dfrac{4}{a}-4 = \dfrac{(a-2)^2}{4a} \geq 0$.

Và $t^2 = a^2+\dfrac{16}{a^2} + 8$.

Khi đó ta có $A = a^2 -6(a+\dfrac{4}{a}) + \dfrac{16}{a^2} + 2020=t^2-6t+2012 = (t-2)(t-4) + 2004 \geq 2004$.

Đẳng thức xảy ra khi $t = 4$ hay $a=2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2004$ khi $a = 2$.

Bài 4.

a) Đặt $n=2k+1$ ta có $A = n^n-n = (2k+1)^{2k+1} – (2k+1)$

$(2k+1)((2k+1)^{2k}-1)$

Ta có $(4k(k+1)+1)^k-1 \vdots 4k(k+1)+1 – 1 \vdots 8$

Vậy $A \vdots 8$.

$n^n – n$ chia hết cho $n$ và $n-1$, nếu $n= 3k, 3k+1$ thì $A$ chia hết cho 3.

Xét $n = 3q+2 $ với $q$ lẻ (vì $n$ lẻ) thì

$3q+2 \equiv 2 (\mod 3) \Rightarrow (3q+2)^{3q+2} \equiv 2^{3q+2} (\mod n)$

Mà $2 \equiv -1 (\mod 3) và $3q+2$ lẻ nên $2^{3q+2} \equiv -1 (\mod 3$.

Do đó $A \equiv – 1 – 3q-2 \equiv 0 (\mod 3)$

Hay $A$ chia hết cho 3.

Mà $(3,8)=1$. Do đó $A$ chia hết cho 24.

b) Đặt $A = \dfrac{21n+17}{14n+3}$.

Nếu $n = 0$ thì $A = \dfrac{17}{3}$ không là số nguyên.

Nếu $n > 0$ ta chứng minh $A < 4$ thật vật $\dfrac{21n+17}{14n+3} – 4 = \dfrac{5-35n}{14n+3} < 0$

Suy ra $A < 4$, dễ thấy $A > 1$, do đó $1 < A< 4$.

Nếu $A = 2$ ta có $21n + 17 = 2(14n+3)$ hay $7n = 11$ (vô lý)

Nếu $A = 3$ ta có $21n+17 = 3(14n+3)$ hay $21n = 8$ (vô lý)

Vậy $A$ không là số nguyên với mọi $n$.

c) Ta có $2^3 \equiv 1 (\mod 7)$, suy ra $2^{3k} \equiv 1 (\mod 7)$.

$4^3 \equiv 1 (\mod 7)$, suy ra $4^{3k} \equiv 1 (\mod 7)$.

Nếu $n = 3k$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 =4^{3k} + 2^{3k} + 1 \equiv 3 (\mod 7)$.

Nếu $n = 3k + 1$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 = 4.4^{3k} + 2.2^{3k} + 1 \equiv 0 (\mod 7)$.

Nếu $n = 3k+2$ ta có $2^{2n} + 2^n + 1 = 16 \cdot 4^{3k} + 4 \cdot 2^{3k} + 1 =0 (\mod 7)$.

Vậy với $n = 3k$ hoặc $n =3k+1$ thì $2^{2n} + 2^{n} + 1$ chia hết cho 7.

Bài 5.

a) Tam giác $BEC, BDC$ vuông tại $D, E$ và $M$ là trung điểm cạnh huyền nên $MD = \dfrac{1}{2}BC = ME = MB = MC$. Suy ra $MDE$ cân tại $M$.

$\angle EMC + \angle DMB = 2\angle B + 2 \angle C = 240^\circ$, suy ra $\angle DME = 60^\circ$.

Do đó tam giác $DME$ đều, cạnh $MD = \dfrac{1}{2}BC = a$. Diện tích bằng $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

b) Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ có $\angle A = 60^\circ$, suy ra $AD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}x$, suy ra $\angle CD = y -\dfrac{1}{x}$ và $BD = \dfrac{3}{2}x$.

Khi đó $BD^2 + CD^2 = BC^2$, hay $x^2+y^2-xy = 4a^2$.

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BD \cdot AC = \dfrac{\sqrt{3}}{4} x \cdot y$.

Mà $xy \leq x^2+y^2-xy = 4a^2$, suy ra $S_{ABC} \leq a^2\sqrt{3}$.

Diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất bằng $a^2\sqrt{3}$ khi $AB = AC$ hay tam giác $ABC$ đều.

Bài 6.

a) Điểm của mỗi học sinh có dạng $\pm 1 \pm 2 \pm3 \pm4 \pm 5 \pm 6$, có tất cả $2^6 = 64$ trường hợp có thể xảy ra. Do đó theo nguyên lý Diriclet thì có ít nhất 2 trường hợp trùng nhau, hay có ít nhất 2 thí sinh làm bài trùng nhau.
b) Số điểm cao nhất là $21$, thấp nhất là $-21$. Hơn nữa một người không thể có số điểm chẵn. Do đó số điểm của một thí sinh thuộc tập $A = \{-21, -19, \cdots, 19, 21\}$, có 22 phần tử.
Có 68 thí sinh tham gia nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 4 thí sinh có số điểm bằng nhau.

Hung Nguyen

April 29, 2020

Thời gian làm bài 90 phút.

Email: hocthemstar20192020@gmail.com

Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau đây:

a) $4x + 5 = 2x – 1$.
b) $\left( {2x + 3} \right)\left( {3x – 2} \right) = 45 + 3x\left( {2x – 5} \right)$
c) $6{x^2} + 5x – 4 = 0$
d) $\dfrac{3}{{4x – 20}} – \dfrac{{15}}{{50 – 2{x^2}}} = \dfrac{7}{{6x + 30}}$.

Câu 2. (1 điểm) Giải các bất phương trình sau:

a) $3x < 4x + 1$.
b) $\dfrac{1}{2}(x+1) + \dfrac{1}{3}(4-x) < \dfrac{2}{5}x – 1$.

Câu 3. (2 điểm)

a) Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ với vận tốc $12km/h$. Lúc về người ấy đi với vận tốc $10km/h$ nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi $45$ phút. Tính chiều dài quãng đường $AB$.
b) Thầy Vũ đi nhà sách và mang theo một số tiền vừa đủ để mua $5$ quyển tập và $3$ cây viết. Nhưng khi mua, giá một quyển tập mà thầy Vũ định mua đã tăng lên $800$ đồng, còn giá tiền một cây viết thì giảm đi $1000$ đồng. Hỏi để mua $5$ quyển tập và $3$ cây viết như dự định ban đầu thì thầy Vũ còn dư hay thiếu bao nhiêu tiền?

Câu 4. (3 điểm) Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, AB = 3, AD = CD = 4$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

a) Tính độ dài $AC$ và $DB$.
b) Tính $\dfrac{IA}{IC}$ và $\dfrac{IB}{ID}$. Suy ra độ dài $IA$.
c) Đường thẳng qua $B$ vuông góc $AC$ cắt $AD$ tại $E$ và $CD$ tại $F$.

i) Chứng minh $CE = AF$.
ii) $CE$ cắt $AF$ tại $K$. Tính $DK$ và diện tích tam giác $FDK$.

Câu 5. (2 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: $$A = x^2 – 5x + 1$$
b) Giải bất phương trình $\dfrac{x+3}{3x-1} > 1$.

Hết

Đáp án

kiemtra